II. Определенный интеграл, геометрические приложения

Интеграл в смысле Римана. Пусть функция определена на отрезке. Разобьем отрезокна части точками. Положим,

произвольно выбранные точки из . Определенным интегралом (Римана) функциина называется число . Функции, для которых предел в правой части равенства существует независимо от выбора точеки разбиения, называются интегрируемыми на, а числаиназываются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования. В частности, интегрируемы на любом конечном интервале следующие функции: а) непрерывные; б) ограниченные, имеющие конечное число точек разрыва; в) ограниченные монотонные.

Ограниченность функции является необходимым условием интегрируемости. Если функция не ограничена на, то она не-интегрируема (но можно рассматривать несобственные интегралы, о которых говорится ниже).

Вычисляются определенные интегралы с помощью неопределенных: если имеет первообразнуюнато справедлива формула Ньютона-Лейбница:. Используется также формула интегрирования по частям: , где , непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , и замена переменной:

при условиях: 1) непрерывна на; 2)непрерывна вместе со своей производнойна, где,; 3) сложная функцияопределена и непрерывна на.

Вычисление площадей плоских фигур. Определенный интеграл для непрерывной функциигеометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, осьюи двумя линиями. Вычисление площадей фигур, отличных от криволинейных трапеций, также осуществляется с помощью определенных интегралов. Так, например, если заданы две непрерывные кривыеии прямые, тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по формуле. Если криваязадается в параметрическом виде уравнениями,, тогда.

Пусть теперь уравнения задают замкнутую кривуюи при изменении параметраотдокриваяпроходится один раз в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки (при этом обходе криваяограничивает слева от себя фигуру с площадью). Тогда. Если с возрастаниемкривая проходит в отрицательном направлении (по часовой стрелке), то в этих трех формулах знак меняется на противоположный.

В полярной системе координат площадь сектора, ограниченного непрерывной кривойи двумя полупрямыми, вычисляется по формуле.

Примеры. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и . Находим точки пересечения кривых:.

Тогда .

2) Вычислить площадь области, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды: ,. Чтобы получилась одна арка, должно быть, при этомменяется от 0 до.

3) Вычислить площадь эллипса ,,.

Уравнения задают замкнутую кривую, поэтому для вычисления площади используем любую из трех приведенных выше формул, например, последнюю:

.

Вычисление длины дуги. Пусть задана гладкая (непрерывно дифференцируемая) кривая в прямоугольной системе координат. Длина дуги соответствующего отрезка кривой равна.

Если кривая задана параметрически: , то

.

В полярных координатах, если кривая задана уравнением , то

.

Примеры. 1) Найти длину дуги параболы. Вычислим , тогда по первой формуле имеем. Неопределенный интеграл(обозначим) проинтегрируем по частям:

. Из этого уравнения относительно найдем его значение, переносяв левую часть равенства:и делим на 2. Окончательно имеем.

2) Найти длину четверти астроиды . Заметив, что, по второй формуле получим

.

3) Найти длину дуги логарифмической спирали от точкидо точки.

Так как , то, тогда по третьей формуле имеем.

Вычисление объемов тел вращений. Пусть задана криволинейная трапеция ,, где непрерывная однозначная функция. Пространственная фигура, полученная вращением вокруг оси этой трапеции, называется телом вращения, и ее объем равен. Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси, то объем вычисляется по формуле.

В более общем случае объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, , гдеи непрерывные неотрицательные функции, равен . Аналогично при вращении вокруг осиобъем равен.

Примеры. Пусть фигура ограничена линиями . Найдем точки пересечения линий:. Следовательно, объемы соответствующих тел вращения равны:

,

.