4.1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Основным
уравнением нерелятивистской квантовой
механики является временное уравнение
Шредингера
|
(4.1) |
где
-
оператор полной энергии частицы (оператор
Гамильтона). Это уравнение позволяет
найти волновую функцию
как
функцию координат и времени, определить
плотность вероятности нахождения
частицы в любой точке пространства в
любой момент времени и тем самым полностью
описать квантовое состояние частицы,
движущейся в силовом поле.
В
квантовой механике существует класс
задач о движении в силовых полях, для
которых силовая функция
не
зависит явно от времени, т.е.
.
Такие силовые поля называются стационарными
силовыми полями,
в этом случае силовая функция
имеет
смысл потенциальной энергии частицы.
В стационарных полях квантовая система
может находиться в состояниях с
определенным значением энергии
.
Эти состояния называются стационарными
состояниями, а задачи о движении частиц,
находящихся в таких состояниях, -
стационарными
задачами квантовой механики.
Именно анализу стационарных состояний
квантовых систем и будет посвящено
дальнейшее изложение в этой главе.
Найдем
общий вид волновой функции, соответствующей
стационарному состоянию. Поскольку
оператор
в
уравнении (4.1)
не зависит явно от времени, то волновую
функцию
следует
искать в виде произведения двух функций
|
(4.2) |
одна
из которых -
-
зависит только от координат, а другая
-
-
только от времени. Подставляя волновую
функцию (4.2)
в уравнение (4.1),
и разделив затем обе части уравнения
на
,
получаем
|
(4.3) |
В уравнении (4.3) левая часть зависит только от времени, а правая - только от координат. Выполнение этого равенства возможно лишь в том случае, если левая и правая части уравнения равны постоянной величине, обозначим ее буквой . Таким образом, из (4.3) получаем два уравнения - одно для функции , а другое - для функции
|
(4.4a) |
|
(4.4b) |
Уравнение
(4.4a)
определяет собственные значения и
собственные функции оператора полной
энергии (гамильтониана)
.
Следовательно, константа
представляет
собой не что иное, как полную энергию
квантово-механической системы. Перепишем
уравнение (4.4a)
с учетом вида оператора
|
(4.5) |
где
-
оператор Лапласа. Уравнение (4.5)
называется уравнением
Шредингера для стационарных состояний.
Его решения - функции
и
соответствующие значения энергии
-
определяются конкретным видом
потенциальной энергии частицы
.
Часто уравнение Шредингера для
стационарных состояний записывают в
следующей форме
|
(4.6) |
Перейдем теперь к анализу временной функции . Решение уравнения (4.4b) имеет вид
|
(4.7) |
где
-
некоторая константа. Без потери общности
можно положить
,
так как функция
входит
во все выражения лишь в виде произведения
с функцией
,
которая также определяется с точностью
до произвольного множителя. Поэтому
нет смысла вводить еще одну произвольную
постоянную и для функции
.
Таким образом, волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовом состоянии, имеет вид
|
(4.8) |
Из (4.8) следует, что волновая функция стационарного состояния гармонически зависит от времени с частотой
Этот
результат показывает, что соотношение
де Бройля
,
первоначально применявшееся в случае
свободного движения частицы, справедливо
также и в случае движения частицы в
произвольном стационарном силовом
поле.
Важно отметить, что для стационарных состояний плотность вероятности местонахождения частицы не зависит от времени. Действительно,
|
(4.9) |
Можно показать, что в стационарных состояниях от времени также не зависит вектор плотности потока вероятности и средние значения физических величин.
С учетом соотношения (4.9) условие нормировки волновой функции
принимает вид
|
(4.10) |
Координатную часть волновой функции в стационарных задачах часто называют просто волновой функцией, учитывая, что зависимость от времени определяется соотношением (4.8) .