21.Составное алгебраическое расширение поля . Теорема 1 (с док-вом).

Пусть дано поле , рассмотрим элемент который явл. алгебр. числом и этот элемент алгебр. число над полем , присоединим к полю , мы получим простое алгебр. расширение поля . Возьмем и присоединим к . алгебр. число относительно поля . Мы получим поле и т.д. В итоге получим , где алгебр. число относительно поля . З! Этот элемент будет алгебр. не только для поля , но и для всех предыдущих полей. Опр. Построенное расширение поля назыв. составным расширением поля , полученное присоединением к полю алгебр. чисел степеней соответственно относительно полей . Элементы поля – , . по теореме 2 следует, что . Аналогично ∀ элемент можно представить . Т. Составное расширение поля полученное присоединением к полю алгебр. чисел степеней относительно полей соответственно, образует линейное пространство над полем размерности . Каждый элемент явл. алгебр. числом степени не выше относительно поля . (Доказательства нет).

22.Следствия 1 и 2 из теоремы о составном алгебраическом расширении поля (с док-вом).

С.1 Все примитивные элементы явл. алгебр. числами степени не выше чем относительно поля . Док.: Все эти числа , а ∀ элемент из явл. алгебр. числом степени не выше чем относительно P.⊠ С.2 Составное расширение явл. алгебр. расширением поля . Док.: Т.к. ∀ элемент явл алгебр. числом степени не выше чем относительно , то расширение явл. алгебр. расширением поля .⊠

23.Теорема о примитивном элементе (с док-вом).

Т. Составное расширение поля явл. простым расширением поля , т.е. ∃ алгебр. число относительно поля , такое что (Доказательства нет).

24.Поле алгебраических чисел. Теорема 1 (с док-вом).

Обозначим множество всех алгебр. чисел относительно поля как . Т. Множество всех алгебр. чисел отночительно образуют поле. Док.: Возьмем ∀ и с помощью этих элементов построим составное алгебр. расширение. – это расширение, по теореме 2, явл. простым и все элементы равны , что вытекает из следствия 2. Значит все элементы из явл. алгебр. числами относительно , но явл. полем и элементы следовательно, ( (*), т.е. ∀ , то и (*) тоже , следовательно на множестве выполн. операции +, -, *, /, следовательно числовое поле, следовательно поле.⊠

25.Теорема об алгебраической замкнутости поля алгебраических чисел (с док-вом).

Т. Поле всех алгебр. чисел относительно явл. алгебр. замкнутым. Док.: Докажем что корни ∀ многочл. с кофиц. из , этому же множеству . Рассмотрим многочл. , где - есть алгебр. числа степеней соответственно, относительно поля . Введем след. обозначения: все числа сопряженные с , их количество ; числа сопряженные с , их будет ; …; числа сопряженные с , их будет ; числа сопряженные с λ, их будет . Далее составим многочл.: . Среди множителей, которые входят в , есть и многочлен (т.к. наход. среди сисел сопряженных с , т.е. чисел вида , среди этих чисел есть , и т.д.) Если взять и поменять в два значения местами, то от этого многочл. не изменится, справедливо и для , и т.д., следовательно кофиц. многочл. при этом не изменяются, воспользуемся следствием из основной теоремы о симметр. многочл.. Рассмотрим который явл. многочленом от одной переменной , старший кофиц. равен 1, все кофиц. из поля . Тогда всякий симметр. многочл. от корней будет многочл. от кофиц. многочл. , его значения будут полю . Мы получим что кофиц. не меняются, следовательно они явл. значениями симметр. многочл. от . По следствию кофиц. многочл. будут значен. многочл. от кофиц. мнимых многочл., следовательно они полю , значит корни есть алгебр. числа относительно , и значит они полю , а т.к. многочл. входит в в качестве множителя, то и все корни многочл. тоже полю , следовательно поле алгебр. замкнуто.⊠