4.Основная теорема о симметрических многочленах (с док-вом).

Т. Всякий симметр. многочлен с кофиц. из поля , единственным образом представляется в виде многочл. от основных симметр. многочл., т.е. (Доказательства нет).

5.Следствие из основной теоремы о симметрических многочленах (с док-вом).

C. Пусть дан многочл. многочлен от одной переменной из над полем и дано это разложение над полем многочл. , тогда ∀ симметр. многочл. с кофиц. из поля Док.: В возьмем многочл. для этого многочл. справедлива Т. (о симметр. многочл.), т.е. . По формулам Виета сумма , … , тогда , но симметр. многочл. Все , значит Опр. многочлен назыв. однородным, если все его члены имеют одинаковую степень.

6.Степенная сумма. Применения основных симметрических многочленов от 2-х переменных.

Опр. Степенной суммой назыв. выражение Для вычисления суммы справедлива след. формула: . Применение степенных сумм: . Т. Пусть произвольные числа и пусть дано уравнение (*), если корни этого уравнения, то система имеет только 2 решения: . Верно и обратное.

7.Возвратные уравнения. Методы их решения.

Опр. Многочл. назыв. возвратным, если … Опр. Уравнение назыв. возвратным, если возвратный многочлен. Т. Всякий возвратный многочл. четной степени можно представить в виде , а многочлен нечетной степени делится на

8.Результант 2-х многочленов от одной переменной. Теорема 1 (с док-вом).

Рассмотрим алгебраически замкнутое поле и в нем 2 многочлена и . Пусть , а . следовательно каждый из этих многочл. имеют корни. Пусть корнями многочл. будут соответственно. Можно доказать, что имеют общие корни в тогда и только тогда. когда они не явл. взаимнопростыми. Опр. Элемент назыв. результантом многочл. ( ). Т. 1)Результант ; 2) ; 3) тогда и только тогда, когда имеют общие корни. Док.: 1) разложим на множители . . . 2) . 3) следовательно общий корень

9.Резултант в форме Сильвестра. Теорема 2 (с док-вом)

Т. Результант в форме Сильвестра имеет вид: . Док.: Для док-ва формулы будем использовать след. систему уравнений:

(*)

Эта система явл. системой однородных уравнений. Покажем что решение системы (*) будет иметь не 0 значение, а именно: один из корней многочлена . Покажем, что указанный вектор явл. решением системы (*). Для этого подставим по корд. в первое уравнение: , , , т.к. корень . Подставим во второе уравнение: . Подставим в уравнение: , , . Аналогично можно подставить для всех уравнений, вектор явл. решением. Тем самым доказано что вектор явл. решением однородного уравнения с переменными, при чем решение не 0.

Система имеет решение тогда и только тогда. когда определитель не равен 0.

10.Решение систем алгебраических уравнений с помощью результанта. Теорема (с док-вом).

Пусть алгебр. замкнутое поле, в нем дана система уравнений , - некоторые многочл. Разложим эти многочл. по степеням убывания : (*). - результант составленный из кофиц. системы (* Т. Если пара решение системы (*), то . Док.: 3 случая. I) после подстановки в (*): . Оба многочл. имеют общий корень , следовательно результант равен 0, следовательно . II) , следовательно столбец в результанте 0, следовательно . III) . (*) примет вид (**) и т.к. решение системы (**), т.е. явл. корнем каждого уравнения, то .

11.Дискриминант. Примеры.

Рассмотрим алгебр. замкнутое поле характеристики 0 и кольцо многочл. . Возьмем в многочл. , т.е. у корней . . Т. имеет кратные корни тогда и только тогда, когда . Если , то 0 равно и (*). Опр. (*) назыв. дискриминантом . Если у есть кратные корни, тогда . Если 2 корния поменять местами в выражении для , то поменяет знак, а сохранит, т.е. симметрическая функция от корней многочл. . С. из основной теоремы о симметр. многочл. следует, что можно выразить через кофиц. : ,

.