17.Теорема о представлении (с док-вом).
Т.
Если примитивный элемент
явл. алгебр. числом
–й
степени относительно поля
,
то для ∀
значений
,
которое
полю часных
степени не выше чем
,
такой что
,
и это представление для
- единственное. Док.:
Т.к.
– алгебр. число
–й
степени, то
многочл.
(
многочл.) степень которого ровна
для которого
корень.
следовательно
,
где степень
но
следовательно степень многочл.
, т.е.
тогда
при
(*).
Покажем что представление (*) единственно
для
.
От противного:
-
(1)
следовательно корень многочл. (1) со степенью , что противоречит таму, что алгебр. число –й степени.⊠
18.Теорема о как линейном n-мерном пространстве (с док-вом).
Опр.
множество
назыв. линейным (векторным) пространством
над полем
,
если выполняются след. условия: 1) на
определена бинарная операция сложения;
2)
явл. абелевой, аддитивной группой; 3) на
определено умножение вектора на скаляр;
4) умножение вектора на скаляр ассоциативно;
5) выполн. закон дистрибутивности; 6)
нейтральный элемент
по умножению. Т.
Если примитивный элемент
явл. алгебр. числом относительно поля
,
то поле часности
явл. линейным
–мерным
пространством над данным полем
и числа
образуют его базис. Док.:
Т.к.
– поле, то
образует аббелеву группу по сложению,
кроме этого
,
то определено умножение чисел из поля
на элементы
,
следовательно выполн. след. условия: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Следовательно
явл. линейным пространством над полем
.
,
т.е. элемент
явл. линейной комбинацией системы
векторов
(*). Покажем что система (*) ЛНЗ. От потивного.
Пусть (*) - ЛЗ, т.е.
где
,
то
,
причем не все из
равны 0. Следовательно
явл. корнем некоторого многочл.
над
степени ниже чем
.
Получили противоречие, следовательно
(*) – ЛНЗ.⊠
19.Теорема об алгебраическом расширении поля (с док-вом).
Опр.
Расширением
поля
назыв. алгебр., если ∀
элемент из
явл. алгебр. относительно поля
.
Т.
Если примитивный элемент
явл алгебр. числом
–й
степени относительно поля
,
то простое алгебр. расширение
поля
явл. алгебр. расширением поля
.
Док.:
и покажем что он будет алгебр. числом
относительно
.
Тем самым будем доказано что
состоит только из алгебр. чисел и значит
.
Из теоремы 3 следует, что
явл.
–мерным
линейным пространством над полем
,
это означает что ∀
1
векторы явл. ЛЗ, т.е. будет зависимой
.
– ЛЗ, это означает что в поле
найдутся числа
не все из которых равны 0. Будет выполн.:
,
а это говорит, что
явл. корнем некоторого многочл.
,следовательно
- алгебр. число линейного
–мерного
пространства, следовательно
- состоит только из алгебр. чисел.⊠
20.Строение простого трансцендентного расширения поля . Теорема (с док-вом).
Пусть
(примитивный элемент) явл. трансценд.
числом относительно
,
тогда
есть множество элементов вида:
.
Данное
есть простое трансценд. расширение поля
,
.
В данном случае нельзя освободится от
иррациональности в знаменателе, т.е.
если
трансценд. число, то теорема 1 в этом
случае не верна. Опр.
Расширение
поля
назыв. трансценд., если ∀
элемент из
∉
явл. трансценд. относительно поля
.
Т.
Если примитивный элемент
явл. трансценд. числом относительно
то простое трансценд. расширение
поля
явл. трансценд. расширением поля
.
Док.:
?
Возьмем ∀
(*)
и покажем что (*) явл. трансценд. числами
относительно
.
От противного. Пусть
явл. алгебр. числом
–й
степени относительно
,
тогда ∃
над полем
,
для которого этот элемент явл. корнем,
.
В последнем равенстве левую и правую
части домножим на
:
.
Получили противоречие. Следовательно
явл. трансценд.
числом, следовательно
.⊠