12.Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема о существовании неприводимого многочлена (с док-вом).

Рассмотрим числовое поле . Опр. Комплексное число α назыв. алгебраическим относительно поля , если в кольце многочленов , , т.ч. явл. его корнем. Опр. Комплексное число назыв. трансцендентным относительно поля , если в кольце многочленов , , т.ч. явл. его корнем. З! Алгебр. (трансценд.) относительно поля назыв. просто алгебр. (просто трансценд.). Если мы рассмотрим , то в кольце такие многочл., т.ч. явл. алгебр. Числа относит. явл. алгерб., т.к. . Т. Если алгеб. число относительно поля , то в не приводимый над полем нормированный многочл. , т.ч. явл. его корнем. Всякий многочл. корнем которого явл число . (Доказательства нет). Опр. Нормиров. не приводимый над полем многочл. , для которого алгебр. число α явл. корнем назыв. мнимым многочл. алгебр. числа α. Опр. Степенью min многочл. назыв. степенью алгебр. числа α относительно поля . Опр. Корни мнимого многочл. для алгебр. числа α назыв. числами сопряженные с α относительно поля .

13.Теорема о комплексном числе, являющимся алгебраическим числом 1-й степени (с док-вом).

Т. Комплексное число α явл. алгебр. числом первой степени относительно поля тогда и только тогда, когда α . Док.: Необх.: Пусть α - алгебр. число первой степени относительно поля следовательно неприводимый многочл. в кольце , т.к. его кофиц. полю то и α . Дост.: Пусть α , тогда α явл. многочл. , который равен (неприводимый над полем и нормированный в с кофиц. из ) следовательно явл. следовательно α - алгебр. число первой степени относительно поля .

14.Теорема об изоморфизме фактор-кольцу (с док-вом).

Т. Если - алгебр. число -й степени относительно поля то изоморфно фактор кольцу кольца по идеалу , где - главный идеал порождающий многочлен для . Док.: Если , то определен однозначно, следовательно определено отображение , такое что , при этом , если , и , то образ или равен . . Следовательно - гомоморфизм . Обозначим буквой , т.е. это ядро гомоморфизма . Из теоремы 1 следует, что для которого алгебр. число явл корнем на многочл. , следовательно – множество порожд. многочл. , т.е. – есть главный идеал кольца , а по теореме гомоморфизма колец .

15.Теорема об изоморфизме и (с док-вом).

Т. Если - трансцендентное число относительно поля , то . Док.: Построим отображение , причем надо доказать, что - гомоморфизм . Докажем, что - взаимно однозначначный гомоморфизм. Предположим, что и . Обозн. через и найдем образ следовательно , но это противоречит тому что - трансцендентное число, следовательно противоречие доказывает. что взаимно однозначно, т.е. – изоморфизм, следовательно .

16.Строение простого алгебраического расширения. Теорема об освобождении от иррациональности в знаменателе (с док-вом).

область целосности, то поле отношений, элементами которого явл. дроби . Поле часных обозначается . Опр. Поле часности назыв. простым расширением поля получен. из поля присоединением к полю числа . Опр. Если элемент явл. алгебр. (трансценд.) относителньо поля , то назыв. простым алгебр. (простым трансценд.) расширением поля . Т. Если примитивный элемент явл. алгебр. числом –й степени относительно поля , то область целосности совпадает с . Док.: . Покажем и обратное: возьмем элемент , и покажем что этот элемент области целосности . Т.к. алгебр. число, следовательно ∃ мнимый многочл. – неприводимый, корнем которого явл. число , тогда по свойству неприводимого многочл. или и - взаимно простые. не может делится на , т.к. мы бы имели , следовательно и - корень , т.к. , то по свойству НОДа ∃ его линейная форма , перейдем и заменим x= : , ,