1.Кольцо многочленов от переменных. Теорема 1. Теорема 2 (с док-вом). Примеры.

Опр. Подмнож. поля назыв. Подполем поля , если явл. полем относит. тех же бинарн. опер. что и поле . Опр. Поле назыв. расширением поля . Т.1 Кольцо многочл. от одной переменной над кольцом явл. расширением кольца и содержит переменную (т.е. кольцо ). Опр.Число α назыв. алгебраическим числом (а.ч.) относительно поля , если в кольце многочл. ∃ не 0 многочл. , т.ч. α явл. его корнем. Опр. Число β назыв. трансцендентным (т.ч.) относительно поля , если в кольце многочл. не ∃ не 0 многочл. , т.ч. β явл. его корнем. Опр. Два многочл. и назыв. равными, если у них равны кофиц. при одинаков. членах. Опр. Степенью одночл. (монома) назыв. число . Опр. Степенью многочл. назыв. наивысшая степень его одночлена. Т.2 Пусть бесконечная область целостности и многочлен от переменных c кофиц. из , если ∀ (как функция), то =0 (как многочлен). (Доказательства нет).

2.Лексикографическое упорядочение многочленов. Теорема (с док-вом). Примеры.

Установим порядок записи для многочл. . Пусть даны два монома: . Составим разость показателей степени:

( ), ( см. след.

…

Это правило отыскания (упоряд.) многочленов от переменных. Опр. Лексикографическим (словарным) упоряд. многочл. назыв. расположение одночл. многочл. в порядке убывания высоты монома. Опр. Пусть многочлен от переменных лексикографич. записи, тогда одночл. стоящий на первом месте в этой записи назыв. высшим членом многочл. . Л. Если одночл. то для ∀ , будет выше чем . Т. Высший член произвед. двух многочл. равен произвед. их высших членов. Док.:рассмотрим два многочлена и . Пусть , а . высший член Надо доказать, что высший член многочл. равен произвед. их высших членов. По условию поэтому для ∀ будет выше, чем . , поэтому для ∀ по лемме . Из этого следует, что .

3.Смметрические многочлены. Основные симметрические многочлены. Теоремы 1. Теорема 2 (с док-вом).

Опр. Многочл. назыв. симметрическим, если он не изменится при ∀ перестановке его пересенных. Пример: , симметрический. Опр. Высший член симметрического многочл. назыв. его одночл. наивысшей высоты. Рассмотрим след. многочл.: , … , (*). Опр. Многочл. (*) назыв основными симметрическими многочл. Они порождены формулами Виета. Т.1 Множ. всех симметр. многочл. над кольцом образуют подкольцо кольца . Опр. Полем назыв. алгебр. замкнутым, если в нем всякий многочл. имеет корни (в сякий многочл. -й степени имеет точно корней). Т.2 Пусть многочл. от элементарных симметр. многочл., тогда он явл. симметр. многочл. от переменных . Док.: Многочл. предст. собой сумму одночл. явл. произв. основн. симметр. многочленов. И эти симметр. многочл. входят в произв. в некотор. степени. Мы знаем, что основн. симметр. многочл. от переменных , т.к. сумма, произв., разность, степень симметр. многочл. от есть симметр. многочл. от , то симметр. многочл. от переменных