![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Площадь треугольника
- •Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
- •Простейшие свойства
- •Связанные определения и свойства Подпространство
- •Свойства подпространств
- •Базис. Размерность
- •Линейная оболочка
- •Конечномерный случай
- •Бесконечномерный случай
- •5.1.4. Действия с линейными операторами
- •Канонический вид
Простейшие свойства
Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого .
для любых
и .
для любого .
Связанные определения и свойства Подпространство
Алгебраическое
определение: Линейное
подпространство
или векторное
подпространство
― непустое подмножество
линейного
пространства
такое,
что
само
является линейным пространством по
отношению к определенным в
действиям
сложения и умножения на скаляр. Множество
всех подпространств обычно обозначают
как
.
Чтобы подмножество было подпространством,
необходимо и достаточно, чтобы
;
для всякого вектора
, вектор
также принадлежал , при любом ;
для всяких векторов
, вектор
также принадлежал .
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
для
всяких векторов
,
вектор
также
принадлежал
для
любых
.
В
частности, пространство, состоящее из
одного элемента
,
является подпространством любого
пространства; любое пространство
является само себе подпространством.
Подпространства, не совпадающие с этими
двумя, называют собственными
или нетривиальными.
Свойства подпространств
Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств
определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов
:
.
В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.
Базис. Размерность
Конечная сумма вида
называется
линейной
комбинацией
элементов
с
коэффициентами
.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы
называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу
. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые
линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.
Линейная оболочка
Линейная
оболочка
подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств , содержащих .
Линейная оболочка является подпространством .
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество .
Линейная оболочка
состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из .
В частности, если — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов
Если — линейно независимое множество, то оно является базисом
и тем самым определяет его размерность.
26)
Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
Бесконечное подмножество векторов из называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
.