Свойства Локальные

• Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

• Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

• Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

• Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

• Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

• Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

• Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

9)

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.

10)

Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение  y ее представимо в виде

 y = f'(x) x + ( x)  x,

где первое слагаемое линейно относительно  x, а второе является в точке  x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем  x. Если f'(x) 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения  y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента  x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Определение 5 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно  x часть приращения  y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x) x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx =  x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f'(x)dx.

(4)

Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол  с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg . Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtg xtg  = f'(x) x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение  x.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

1. d c = 0;

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x)  v(x)) = d u(x)  d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v²(x).

Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u =  (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f((x)). Если каждая из функций f и  являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции

dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,

так как u'dx = du. То есть

dy = f'(u)du.

(5)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx =  x, а в формуле (5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.

11)

Теорема Роля (Ролля).

Если функция является непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой на интервале (a, b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения (т.е. ), то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка x=c, в которой производная функции f(x) равна нулю, т.е.

Теорема Ферма   Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.

Теорема Лагранжа   Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

 Теорема Коши   Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что

12)

лемма Ферма

Пусть функция имеет во внутренней точке области определения локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные конечные или бесконечные. Тогда

• если — точка локального максимума, то

• если — точка локального минимума, то

В частности, если функция имеет в производную, то