Оценка погрешности и сходимость разностной схемы (6), (7a), (11).
В
разностной схеме возьмем
.
При этом будет выполнено неоходимое
условие устойчивости Куранта, Фридрихса,
Леви, а значит и сходимости. В случае
квадратной сетки выражения (6) и (11)
принимают вид
. (12)
, (13)
При подстановке в (12) и (13) решения задачи (1),(2) получаем
.(12’)
.
(13’)
Вычтем
из равенств (12’) и (13’) соответственно
равенства (12) и (13). В результате вычитания
получим для погрешности
систему
(14)
(15)
Возьмем
произвольную точку S
множества D и зафиксируем
ее. Координаты этой точки
в дальнейшем считаем константами, не
зависящими от шага сетки. Построим
квадратную сетку так, чтобы в точке S
получался узел сетки
.
Оценим погрешность решения в точке S,
то есть величину
.
Для начала перепишем (14) в виде
(16)
При m=0 (16) совпадает с (14) с точностью до перестановки слагаемых. При m=j-1
в (16) наименьший второй индекс становится равным нулю. Просуммируем равенства (16) по m в указанных пределах, тогда получим
(17)
При суммировании левых частей сократились все слагаемые, за исключением первого и последнего. Аналогично сократились слагаемые при получении правой части.
Перепишем (17) в виде
(18)
При k=0 выражение (18) совпадает с (17) с учетом, что погрешность на нулевом слое равна нулю и выполнен перенос слагаемых. При k=j-1 под знаком суммы остается только одно слагаемое. Просуммируем равенства (18) по индексу k в указанных пределах, тогда получим
(19)
Из (19) следует оценка
(20)
Здесь
через
и R обозначены модули
максимальных по модулю соответствующих
погрешностей аппроксимации. Поскольку
фиксировано (не зависит от шага сетки),
а погрешности аппроксимации есть
величины порядка
,
то доказанная оценка (17) показывает, что
во всякой ограниченной части области
метод сеток равномерно сходится со
скоростью
.
Переходим к рассмотрению смешанной задачи.
11.7. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
Смешанная граничная задача для одномерного гиперболического уравнения. Разностные схемы для смешанной задачи. Условие Куранта, Фридрихса, Леви. Разрешимость и устойчивость.
Оценка погрешности аппроксимации и исследование разностных схем на разрешимость и устойчивость.
Фоpмулиpовка исходной смешанной диффеpенциальной задачи.
Для одномерного гиперболического уpавнения:
(1)
заданного в области
найти pешение , удовлетвоpяющее граничным условиям
(2)
и начальным условиям
.
(3)
Постpоение pазностной схемы
В области введем сетку с шагом по оси и шагом по оси :
. (4)
Узлы сетки кpатко будем обозначать . Все множество узлов (4) обозначим чеpез . Диффеpенциальное уpавнение (1) будем pассматpивать на множестве узлов :
(5)
Вторую производную по x в (5) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(6)
где -1 < s < 1. Вторую производную по t в (4) будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства:
(7)
где -1 < < 1. Получение формул вида (6) и (7) для аппроксимации производных рассматривалось в лабоpатоpной pаботе по pешению гpаничной задачи для о.д.у. методом пpогонки.
Отбрасывая в (6) и (7) остаточные члены и подставляя в (5), получаем разностные (сеточные) уравнения:
.
(8)
Разностное уравнение (8) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по l и по h:
.
Граничные условия (2) аппроксимируются точно уравнениями
. (9)
Первое начальное условие из (3) аппроксимируется точно уравнением
.
(10a)
Во втором начальном условии первую производную по t будем аппроксимировать разностным соотношением на основании равенства
.
В результате получаем разностное уравнение
(10b)
с первым порядком аппроксимации по l.
Таким образом, построена разностная схема (8), (9), (10), которая имеет второй порядок аппроксимации по h и первый порядок аппроксимации по l.