Разрешимость разностной схемы.

Перепишем уравнения (7) в виде

(11)

Множество узлов будем называть слоем j. Значения решения на нулевом слое задаются в начальном условии (8a). Значения решения на очередном слое вычисляются через значения решения на предыдущем слое по формуле (11). Значения задаются граничными условиями (8b). Следовательно, решение разностной схемы (11), (8) определяется явным образом. Такие разностные схемы называют явными.

Устойчивость явной разностной схемы (11), (8).

Обозначим . Введем нормы .

Теорема 1. Если , то разностная схема (11), (8) устойчива.

Доказательство. Перепишем (11) в виде . Если достигается во внутреннем узле , то . В противном случае .

Таким образом, получается оценка

. (12)

Представим решение разностной схемы (11), (8) в виде , где - решение задачи (11), (8), когда , а - решение задачи (11), (8) при однородных начальных и граничных условиях. Применяя оценку (12) для , получаем

Для применение оценки (12) дает

.

В результате имеем . Теорема доказана.

Явная разностная схема (11), (8) является условно устойчивой.

Построение неявной разностной схемы.

Уpавнения (4) рассмотрим на множестве узлов .

Для аппроксимации второй производной в (4), как и раньше, воспользуемся

равенством (5), а для аппроксимации первой производной воспользуемся равенством

(13)

где 0<c<1. В результате для аппроксимации дифференциального уравнения (1) получаем разностное уравнение

(14)

Разностная схема (14),(8) аппpоксимиpует гpаничную задачу (1),(2) на pешении с погpешностью поpядка . Ее называют неявной.

Разрешимость неявной разностной схемы (14), (8).

Перепишем уравнения (14) в виде

. (14’)

Значения решения на нулевом слое задаются в начальном условии (8a). Для вычисления значений решения на очередном слое нужно решить систему

, (15a)

, (15b)

. (15c)

Матрица системы (15) является трехдиагональной с преобладанием главной диагонали. Поэтому система (15) имеет единственное решение и это решение может быть найдено методом прогонки.

Устойчивость неявной разностной схемы (14), (8).

Теорема 2. Разностная схема (14), (8) абсолютно устойчива.

Доказательство. Преобразуем (14) к виду

. (16)

Если достигается во внутреннем узле , то . В противном случае . Таким образом, получается оценка

. (17)

Дальнейшее доказательство проводится так же, как в теореме 1.

При изложении материала за основу взяты страницы 511-516 учебного пособия: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

11.6. Сеточные методы решения задачи Коши для уравнений гиперболического типа.

Задача Коши для одномерного гиперболического уравнения. Разностные схемы для задачи Коши. Условие Куранта, Фридрихса, Леви. Разрешимость и сходимость.

Оценка погрешности аппроксимации и исследование разностных схем на разрешимость и сходимость.

Для одномерного гиперболического уpавнения:

(1)

могут быть поставлены две задачи: задача Коши и смешанная граничная задача. Начнем с рассмотрения задачи Коши.