
- •11. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.
- •11.1. Сеточные методы решения краевой задачи для уравнения Пуассона.
- •Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Постpоение pазностной схемы
- •Система линейных алгебpаических уpавнений (8),(9) представляет собой pазностную схему для исходной гpаничной задачи (1),(2). Определение порядка аппроксимации.
- •Исследование разностной схемы на разрешимость.
- •Основные понятия теории разностных схем.
- •11.3. Сходимость сеточного метода
- •Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •11.4. Метод матричной прогонки решения разностной схемы..
- •Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
- •Вывод расчетных формул метода матричной прогонки.
- •Исследование метода матричной прогонки на устойчивость.
- •11.5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения.
- •Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи
- •Постpоение явной pазностной схемы.
- •Оценка погрешности аппроксимации.
- •Разрешимость разностной схемы.
- •Устойчивость явной разностной схемы (11), (8).
- •Построение неявной разностной схемы.
- •Разрешимость неявной разностной схемы (14), (8).
- •Устойчивость неявной разностной схемы (14), (8).
- •11.6. Сеточные методы решения задачи Коши для уравнений гиперболического типа.
- •Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной задачи Коши.
- •Постpоение pазностной схемы
- •Разрешимость разностной схемы.
- •Повышение порядка аппроксимации начальных условий.
- •Условие Куранта, Фридрихса, Леви.
- •Оценка погрешности и сходимость разностной схемы (6), (7a), (11).
- •11.7. Сеточные методы решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •Фоpмулиpовка исходной смешанной диффеpенциальной задачи.
- •Постpоение pазностной схемы
- •Разрешимость разностной схемы.
- •Повышение порядка аппроксимации начальных условий.
- •Построение равносильной разностной схемы с однородными граничными условиями.
- •11.8. Устойчивость разностной схемы по начальным условиям в случае решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •Фоpмулиpовка исходной смешанной диффеpенциальной задачи.
- •Разностная схема.
- •Устойчивость разностной схемы по начальным условиям.
- •11.9. Устойчивость разностной схемы по правой части в случае решения смешанной задачи для уравнений гиперболического типа.
- •Фоpмулиpовка исходной смешанной диффеpенциальной задачи.
- •Разностная схема.
- •Устойчивость разностной схемы по правой части.
Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
Диффеpенциального уpавнение Пуассона:
, (1)
задано внутpи единичного квадpата
.
Требуется найти pешение u(x,y), удовлетвоpяющее гpаничным условиям
(2a)
. (2b)
Для краевой задачи (1), (2) была построена разностная схема
(3)
, (4a)
. (4b)
Было
показано, что разностная схема (3), (4)
аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на
ее решении со вторым порядком относительно
шагов
и
.
Иссследование разностной схемы на устойчивость.
Введем
сеточные нормы
;
;
.
Разностная
схема (3), (4) называется устойчивой, если
существуют такие положительные константы
,
не зависящие от
,
что для произвольной сеточной функции
выполняется неравенство
.
Возьмем
произвольную сеточную функцию
,
обозначим
и рассмотрим квадратный многочлен
. (5)
На множестве выполняются неравенства
. (6)
Применяя
оператор Лапласа к многочлену
,
имеем
.
Учитывая,
что погрешность аппроксимации
дифференциального оператора Лапласа
разностным выражается через четвертые
производные, получаем
.
Возьмем
вспомогательную функцию
.
Применяя к ней разностный оператор
Лапласа, получим
.
В
силу принципа максимума для разностного
оператора Лапласа сеточная функция
принимает наименьшее свое значение на
границе. На границе в соответствии с
(6) имеем
.
Отсюда
следует, что
или
. (7)
Используя вспомогательную функцию , можно доказать, что
. (8)
Объединяя
(7) и (8), получаем
или
. (9)
Из (9) и
(6) следует
.
Устойчивость доказана.
Таким образом, разностная схема (3), (4) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении. По доказанной ранее теореме решение разностной схемы будет сходиться к решению краевой задачи.
При изложении материала за основу взяты страницы 530-531 учебного пособия: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
11.4. Метод матричной прогонки решения разностной схемы..
Задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном квадрате и ее разностная схема. Представление разностной схемы в матричном виде. Расчетные формулы метода матричной прогонки.
Использование алгебраических преобразований при выводе расчетных формул. Исследование метода матричной прогонки на устойчивость.
Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи
Диффеpенциальное уpавнение Пуассона:
, (1)
задано внутpи единичного квадpата
.
Требуется найти pешение u(x,y), удовлетвоpяющее гpаничным условиям
(2a)
. (2b)
Для краевой задачи (1), (2) была построена разностная схема
(3)
, (4a)
. (4b)
Было доказано, что решение разностной схемы (3), (4) сходится к решению краевой задачи (1), (2).
Преобразование разностной схемы к матрично-векторному виду.
Перепишем уравнения (3) в виде
,
,
,
где
.
Обозначим векторы
;
.
.
Тогда разностную схему (3), (4) можно записать в матрично-векторной форме:
, (5a)
, (5b)
, (5c)
где квадратная матрица C имеет вид