Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи

Диффеpенциального уpавнение Пуассона:

, (1)

задано внутpи единичного квадpата

.

Требуется найти pешение u(x,y), удовлетвоpяющее гpаничным условиям

(2a)

. (2b)

Для краевой задачи (1), (2) была построена разностная схема

(3)

, (4a)

. (4b)

Было показано, что разностная схема (3), (4) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении со вторым порядком относительно шагов и .

Иссследование разностной схемы на устойчивость.

Введем сеточные нормы ; ; .

Разностная схема (3), (4) называется устойчивой, если существуют такие положительные константы , не зависящие от , что для произвольной сеточной функции выполняется неравенство .

Возьмем произвольную сеточную функцию , обозначим и рассмотрим квадратный многочлен

. (5)

На множестве выполняются неравенства

. (6)

Применяя оператор Лапласа к многочлену , имеем .

Учитывая, что погрешность аппроксимации дифференциального оператора Лапласа разностным выражается через четвертые производные, получаем .

Возьмем вспомогательную функцию . Применяя к ней разностный оператор Лапласа, получим .

В силу принципа максимума для разностного оператора Лапласа сеточная функция принимает наименьшее свое значение на границе. На границе в соответствии с (6) имеем .

Отсюда следует, что или

. (7)

Используя вспомогательную функцию , можно доказать, что

. (8)

Объединяя (7) и (8), получаем или

. (9)

Из (9) и (6) следует . Устойчивость доказана.

Таким образом, разностная схема (3), (4) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении. По доказанной ранее теореме решение разностной схемы будет сходиться к решению краевой задачи.

При изложении материала за основу взяты страницы 530-531 учебного пособия: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

11.4. Метод матричной прогонки решения разностной схемы..

Задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном квадрате и ее разностная схема. Представление разностной схемы в матричном виде. Расчетные формулы метода матричной прогонки.

Использование алгебраических преобразований при выводе расчетных формул. Исследование метода матричной прогонки на устойчивость.

Фоpмулиpовка исходной диффеpенциальной краевой задачи

Диффеpенциальное уpавнение Пуассона:

, (1)

задано внутpи единичного квадpата

.

Требуется найти pешение u(x,y), удовлетвоpяющее гpаничным условиям

(2a)

. (2b)

Для краевой задачи (1), (2) была построена разностная схема

(3)

, (4a)

. (4b)

Было доказано, что решение разностной схемы (3), (4) сходится к решению краевой задачи (1), (2).

Преобразование разностной схемы к матрично-векторному виду.

Перепишем уравнения (3) в виде

,

,

,

где . Обозначим векторы

;

.

.

Тогда разностную схему (3), (4) можно записать в матрично-векторной форме:

, (5a)

, (5b)

, (5c)

где квадратная матрица C имеет вид