Основные понятия теории разностных схем.
Общий вид дифференциальной краевой задачи. Общий вид соответствующей разностной схемы. Определения сходимости, аппроксимации, устойчивости. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью.
Последовательное использование определений устойчивости, аппроксимации и сходимости при доказательстве теоремы.
Пусть
в области
задана краевая задача
, (1)
. (2)
Обозначим
- пространство функций, определенных
на замкнутом множестве
,
к которому мы относим решение задачи
(1), (2);
- пространство правых частей
,
определенных на
,
и
- пространство функций, определенных
на границе
области.
На
множестве
введем сетку
и построим разностную схему
, (3)
.
(4)
Обозначим
- пространство функций, определенных
на всей сетке
,
к которому мы относим решение задачи
(3), (4);
- пространство правых частей
,
определенных на
,
и
- пространство функций
, определенных на границе
сетки.
Проекцию
непрерывной функции
обозначим через
.
В
пространствах
введем нормы. При этом сеточные нормы
в пределе при
должны совпадать с непрерывными нормами.
Определение
1. Говорят, что решение
разностной схемы (3), (4) сходится к решению
краевой задачи (13), (14), если
при
.
Определение 2. Говорят, что разностная схема (3), (4) аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении , если
при
.
При
этом величину
называют погрешностью аппроксимации
на решении.
Определение
3. Разностную схему (3), (4) называют
устойчивой, если существуют
и не зависящие от
константы
,
такие, что при
для любой сеточной функции
выполняется неравенство
.
Теорема. Если разностная схема (3), (4) устойчива и аппроксимирует краевую задачу (1), (2) на ее решении, то решение разностной схемы сходится к решению краевой задачи.
Доказательство.
Для сеточной функции
,
в силу устойчивости разностной схемы,
имеем
или
.
Учитывая линейность операторов,
разностную схему и условие аппроксимации,
отсюда получаем
при
.
Доказанная теорема позволяет разбить исследование сходимости на два этапа: исследование аппроксимации и исследование устойчивости разностной схемы.
При изложении материала за основу взяты
страницы 481-490 учебного пособия: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
страницы 135-151 учебного пособия:Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы:, т.2.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.
страницы 286-291 учебного пособия: Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989.
11.3. Сходимость сеточного метода
решения краевой задачи для уравнения Пуассона.
Задача Дирихле для уравнения Пуассона в единичном квадрате и ее разностная схема. Определения аппроксимации, устойчивости, сходимости и связь между ними.
Использование введенных сеточных норм, вспомогательного квадратного многочлена и принципа максимума для исследования устойчивости разностной схемы.