Метод произведения.
Пусть у=u(x)v(x), тогда у=u(x)v(x)+ u (x)v(x), получаем
.
Сгруппируем второе и третье слагаемое
левой части и общий множитель u
вынесем за скобку
.
(**)
Найдем функцию v(x) из условия
;
;
;
;
;
.Полученное выражение для v подставляем в равенство (**), учитывая, что :
;
;
;
;
;
;
.
Таким образом, .
Функция является общим решением данного дифференциального уравнения. Найдем значение D, используя начальное условие у(0)=ln5.
;
,
D=5. Тогда частное решение,
соответствующее заданному начальному
условию, будет иметь вид
.
Ответ: .
III. Задания для практической части.
Найти общее решение дифференциального уравнения.
1.1. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.2. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.3. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.4. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.5. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.6. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.7. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.8. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.9. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
1.10. а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Найти частное решение дифференциального уравнения.
2.1. а)
;
б)
.
2.2. а)
;
б)
.
2.3. а)
;
б)
.
2.4. а)
;
б)
.
2.5. а)
;
б)
.
2.6. а)
;
б)
.
2.7. а)
;
б)
.
2.8. а)
;
б)
.
2.9. а)
;
б)
.
2.10. а)
;
б)
.