2. Метод произведения.

Будем искать решение уравнения у¢-у=е^х в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение у¢-у=е^х: u¢×v+u×v¢-u×v=е^х. Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢-v)=е^х.

Функцию v(x) найдем из условия v¢-v=0.

v¢=-v, разделим переменные: ; проинтегрируем обе части: ; . В данном случае примем С=0 и возьмем знак «+»: .

Подставим полученное выражение в уравнение u¢×v +u×(v¢- v)=е^х: .

. Проинтегрируем обе части: .

Таким образом, решением ДУ у¢-у=е^х является функция у=(х+С)е^х или у=хе^х +Се^х.

1.2.4. Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнением Бернулли называют дифференциальное уравнение вида: у¢+р(х)у=f(х)уⁿ (7)

Уравнение такого вида можно решать методом произведения. Будем искать решение ДУ (7) в виде

y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение (7): у¢+р(х)у=f(х)уⁿ:

u¢×v +u×v¢+ u×v×р(х)=f(х)uⁿvⁿ. Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢+ v×р(х))=f(х)uⁿvⁿ.

Функцию v(x) найдем из условия v¢+ v×р(х)=0.

v¢=-v×р(х), разделим переменные: ; проинтегрируем обе части: ; . В данном случае примем С=0 и возьмем знак «+»: .

Подставим функцию j(х) в уравнение u¢×v +u×(v¢+ v×р(х))=f(х)uⁿvⁿ: u¢×j(x)=f(х)uⁿ jⁿ. Получаем ДУ u¢=f(х)uⁿ j(х)^n-1, из которого теперь найдем значение функции u(x). ; . После нахождения интеграла в обеих частях уравнения получим некоторую функцию u=y(x,C).

Таким образом, решением ДУ Бернулли является функция у=j(х)×y(х,С).

Пример. Решим ДУ .

Решение. Данное ДУ является уравнением Бернулли при , f(х)=1.

Решим данное ДУ методом произведения. Будем искать решение в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение : ; сгруппируем второе и третье слагаемые: и найдем функцию v(x) из условия . Разделим переменные: и проинтегрируем обе части, считая постоянную интегрирования равной 0: ; ; . Поп проинтегрируем обе части, считая постоянную интегрирования равной дставим полученную функцию в уравнение ; , найдем функцию u(x). ; ; ; ; . Таким образом, решение ДУ Бернулли будет иметь вид: или .

1.2.5. Уравнения в полных дифференциалах.

Рассмотрим дифференциальное уравнение . ; ; .

Определение. Дифференциальное уравнение вида (8) называют ДУ в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения полностью совпадает с полным дифференциалом некоторой функции F(х,у).

То есть ; .

Теорема. Для того чтобы уравнение было ДУ в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы

при условии что непрерывно дифференцируемы.

Доказательство.

1. Пусть уравнение является ДУ в полных дифференциалах. Тогда по определению существует такая функция F(x,y) что и .

Найдем . (F(x,y) – непрерывно дифференцируема, непрерывно дифференцируемы ее производные, поэтому смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования). Таким образом, .

2. Пусть . Для доказательства того, что уравнение является ДУ в полных дифференциалах, необходимо построить такую функцию F(x,y), чтобы и .

Рассмотрим равенство . Проинтегрируем равенство по х при фиксированном у на интервале от х₀ до х: , то есть . Так как интегрирование велось при фиксированном у, то постоянная интегрирования будет зависеть от у. Полученное равенство продифференцируем по у:

; ; , где у₀–любое постоянное число.

Таким образом, функция F(x,y), удовлетворяющая требуемым условиям, будет иметь вид: . (9)

‚

Замечание. Если функции определены лишь в некоторой области Д, то значения (х,у) необходимо рассматривать только в этой области. Кроме того, (х₀,у₀) – произвольны, но выбираются также из этой области Д.

Пример. Решить ДУ (х²+у-4)dx+(x+y+e^y)dy=0.

Решение. Проверим, является ли данное ДУ ДУ в полных дифференциалах. В данном ДУ g(x,y)=х²+у-4; h(x,y)= x+y+e^y. Проверим, выполняются ли условие теоремы . ; . Условия теоремы выполняются, следовательно ДУ (х²+у-4)dx+(x+y+e^y)dy=0 является ДУ в полных дифференциалах.

По доказательству теоремы построим функцию . Пусть х₀=0, у₀=0, (g(x,y)и h(x,y) определены в точке (0,0))

;

; .