1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида: у¢+р(х)у=f(х) (6)
Если f(x)º0, то уравнение (6) называют однородным (ОЛДУ), если f(x)¹0, то уравнение (6) называют неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка (НЛДУ).
Методы решения НЛДУ первого порядка.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Решим уравнение у¢+р(х)у=f(х) в общем виде.
Сначала найдем решение соответствующего ОЛДУ у¢+р(х)у=0. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
у¢=-р(х)у;
;
.
Проинтегрируем обе части:
;
;
;
(примем
);
.
Будем считать
С=С(х) некоторой пока неизвестной функцией
от х. тогда решение НЛДУ у¢+р(х)у=f(х)
будем искать в виде:
.
Так как данная
функция является решением, подставим
ее в уравнение:
;
;
.
Разделим переменные в полученном
уравнении и проинтегрируем обе части.
;
.
Таким образом, решением ДУ у¢+р(х)у=f(х) является функция
.
Пример. Найти решение ДУ у¢+ху=х. Данное ДУ является НЛДУ первого порядка: р(х)=f(х)=х.
Решение.
Решим сначала соответствующее ОЛДУ
у¢+ху=0.
Разделим переменные: у¢=-ху;
;
.
Проинтегрируем обе части:
;
;
.
Примем С=С(х) и
будем искать решение ДУ в виде
,
считая С(х) некоторой неизвестной
функцией. Подставим функцию
в ДУ:
;
;
;
;
проинтегрируем об части:
;
.
Таким образом,
решением ДУ у¢+ху=х
является функция
или
.
Метод произведения.
Решение уравнения у¢+р(х)у=f(х) будем искать в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение у¢+р(х)у=f(х):
u¢×v +u×v¢+ u×v×р(х)=f(х). Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢+ v×р(х))=f(х).
Функцию v(x) найдем из условия v¢+ v×р(х)=0.
v¢=-v×р(х),
разделим переменные:
;
проинтегрируем обе части:
;
.
В данном случае примем С=0
и возьмем знак «+»:
.
Подставим полученное
выражение в уравнение u¢×v
+u×(v¢+
v×р(х))=f(х):
.
.
Проинтегрируем обе части:
.
Таким образом,
решением ДУ у¢+р(х)у=f(х)
является функция
.
Пример. Решим ДУ у¢+ху=х вторым способом и сравним полученные результаты. Решение ДУ будем искать в виде y=u(x)×v(x), где u(x) и v(x) – некоторые пока неизвестные функции. Подставим функцию y=u(x)×v(x) в уравнение у¢+ху=х: u¢×v +u×v¢+ u×v×х=х. Сгруппируем второе и третье слагаемые: u¢×v +u×(v¢+ v×х)=х.
Функцию v(x) найдем из условия v¢+ v×х=0.
v¢=-v×х,
разделим переменные:
;
проинтегрируем обе части:
;
.
В данном случае примем С=0 и возьмем
знак «+»:
.
Подставим полученное
выражение в уравнение u¢×v
+u×(v¢+
v×х)=х:
.
.
Проинтегрируем
обе части:
;
Таким образом,
решением ДУ у¢+ху=х
является функция
или
.
Очевидно, полученные результаты при
решении ДУ первым и вторым методами
совпадают.
Пример. Решим ДУ у¢-у=ех двумя способами.
Решение.
Метод Лагранжа.
Решим соответствующее
ОЛДУ у¢-у=0.
Разделим переменные
;
;
проинтегрируем обе части:
;
;
.
Будем считать С=С(х) и найдем решение
НЛДУ в виде:
.
Подставим полученную функцию в уравнение:
;
;
;
.
Тогда решением ДУ
у¢-у=ех
будет функция
или
.