1.2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. ДУ с разделяющимися переменными называют уравнение вида: . (4)

Предположим, что h(y)¹0. Тогда уравнение (4) можно привести к виду: . Так как в обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций, то сами функции могут отличаться только на некоторую постоянную величину С. Находя интегралы левой и правой частей, получим уравнение связывающее переменные х и у: F(y)=Ф(х)+С. Полученное уравнение является решением ДУ (4), заданным в неявном виде. Если можно выразить у через х явно, тогда получим решение ДУ (4) в явном виде: у=y(х)+С₁.

Пример. Решить ДУ: .

Решение. Преобразуем данное ДУ к виду (4): . «Разделим переменные»: . Проинтегрируем обе части уравнения: . – решение ДУ в неявном виде. Выразим из полученного равенства у через х: – решение ДУ в явном виде.

Ответ: .

Замечание. При решении ДУ предполагалось, что h(y)¹0 (в примере – у²+1¹0 при любом действительном у).

Предположим, что при у=а h(а)=0. подставим функцию у=а в уравнение (4): (производная постоянной величины равна 0) – верное равенство. Следовательно, у=а – еще одно решение уравнения (4) с разделяющимися переменными.

Пример. Решить ДУ: .

Решение. Приведем данное ДУ к виду (4): . «Разделим переменные»: (у-1¹0). Проинтегрируем обе части: . ln|y-1|=ln|x|+C₁, ln|y-1|=lnC₂|x| –решение в неявном виде. у-1=±С₂х; у=Сх+1– решение в явном виде.

Пусть у-1=0. Тогда функция у=1 является решением ДУ: , 0=0 – верное тождество.

Ответ: у=Сх+1; у=1.

1.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Функция f(х,у) называется однородной функцией порядка m, если для любого действительного числа t имеет место равенство: f(tх,tу)= t^m f(х,у).

Пример. Пусть f(х,у)=х²-2ху-у². Найдем f(tх,tу)=t ²х²-2tхtу-t ²у²=t²(х²-2ху-у²)=t² f(х,у). Функция f(х,у)=х²-2ху-у² является однородной функцией второго порядка.

Пример. Пусть ; . Таким образом, функция является однородной четвертого порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение у¢= f(х,у) (5) называется однородным дифференциальным уравнением, если функция f(х,у) является однородной функцией нулевого порядка.

То есть для любого действительного числа t f(х,у)= f(tх,tу).

Однородное ДУ первого порядка всегда можно свести к ДУ с разделяющимися переменными с помощью замены у=кх, где к=к(х) – некоторая пока неизвестная функция от х.

Так как функция f(х,у) является однородной функцией нулевого порядка, то в качестве t можем взять . Тогда f(х,у)= f( х, у)= f(1, )= f(1,к) (так как у=кх).

Подставим у=кх в уравнение (5):

(кх)¢=f(1,к); к¢х+к=f(1,к); к¢х=f(1,к)-к; ; разделяем переменные: . Проинтегрируем обе части уравнения: . В результате нахождения интегралов, найдем функцию к=к(х,С). Тогда решение ДУ (5)будет иметь вид: у=к(х,С)х.