Пример 2. Вычислить , переходя к повторному по абоим направлениям, если ограничена кривыми : .

► Сначала рассмотрим область как элементарную относительно . Поскольку верхняя её граница состоит из отрезков двух разных прямых, то разобъём её на области и :

Если же рассматривать область как элементарную относительно , то сразу

◄

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

► Поскольку первообразная от функции не выражается элементарной функцией, то попробуем изменить порядок интегрирования, рассматривая этот интеграл как повторный для двойного интеграла , где . Поэтому

. ◄

Упражнение. Вычислите , где .

Замечание. Если область не является элементарной относительно обеих осей, то его разделяют на части, каждая из которых есть элементарная.

§9.3.Преобразование плоских областей.

Пусть – непрерывные на области вместе с их частными производными функции, которые при помощи преобразования

(1)

однозначно отображают область плоскости на область плоскости :

Если якобиан на , то существует обратное преобразование , (2)

области на область .

Поскольку каждой точке ставится в соответствие по формуле (1) единственная пара чисел , то эти числа можно рассматривать как новые координаты той же точки , а равенства (2) как формулы перехода к новым координатам и той же плоскости .

Множества точек плоскости , на которые отображаются прямые при преобразовании (1), называются координатными линиями. Это линии, вдоль которых одна из координат сохраняет постоянное значение:

и

Эти уравнения в общем случае задают параметрически некоторые кривые. По этой причине координаты называют криволинейными координатами точек области .

Одним из наиболее важных примеров криволинейных координат являются полярные координаты . Они имеют простое геометрическое толкование как радиус-вектор и полярный угол, но могут быть введены формально при помощи равенств (3)

Координатными линиями для полярных координат являются окружности

– и лучи ,

выходящие из начала координат под углом к оси . Нарушение аднозначности в начале координат объясняется тем, что якобиан преобразования (3) , если только .

Пусть есть прямоугольник в плоскости с вершинами , , , , который при отображении (2) преобразуется в криволинейный четырохугольник с вершинами

, , , .

Как и ранее, будем считать, что на прямоугольнике функции непрерывны вместе с их частными производными и якобиан . Ставим перед собой задачу: найти соотношение между площадями четырёхугольников и .

Заменим приближённо приращение функций в значениях координат четырёхугольника их дифференциалами, рассматривая и как приращения независимых переменных, и вместо криволинейного четырёхугольника рассмотрим прямолинейный четырёхугольник с вершинами

, , , .

Здесь и все их частные производные вычисляются в точке . Поскольку векторы и , то , а это значит, что четырёхугольник есть параллелограмм, построенный на векторах и .

Как известно, площадь параллелограмма, построенного на векторах равна модулю векторного произведения : , где . Учитывая, что векторы и имеют соответственно координаты и , вычислим площадь параллелограмма :

Таким образом, взяв в качестве площади криволинейного четырёхугольника значение площади параллелограмма , имеем: ,

откуда получаем , что , т.е. модуль якобиана равен отношению бесконечно малых площадей, которые соответствуют одна другой при преобразовании (2).

Обычно выражение называют элементом площади в криволинейных координатах.