Пример 2. Пусть задана точка . Найдём расстояние от до плоскости (12)

► Возьмём произвольную точку на плоскости (12). Тогда . Искомое расстояние равно минимуму функции , который будет находиться в точке минимума функции . Ищем далее минимум функции . Рассмотрим функцию Лагранжа

и запишем для неё необходимые условия экстремума:

откуда получаем Таким образом, имеем

, а расстояние будет равно

(поскольку здесь единственная точка экстремума).

То же самое получаем на основании достаточного условия:

Второй дифференциал функции Лагранжа есть положительно определённая квадратичная форма, а поэтому – искомое расстояние. ◄

77