§8.2. Система неявных функций.

Рассмотрим систему двух уравнений (1)

определённую в некоторой окрестности точки .

def. Если существуют функции , определённые в некоторой окрестности точки : , то функции называют системой неявных функций, которые определяются системой уравнений (1).

def. Определитель называется якобианом от функций по переменным .

Теорема 1 (о существовании системы двух неявных функций). Пусть функции и из системы уравнения (1) имеют непрерывные частные производные в окрестности точки и якобиан , а . Тогда система уравнений (1) определяет в окрестности точки единственную систему непрерывных неявных функций , причём .

□ Поскольку якобиан не равен нулю, то имеет место по крайней мере одно из неравенств , . Допустим , что . Тогда по теореме о неявной функции уравнение определяет неявную функцию , (2)

причём , а её производная . (3)

Подставим эту функцию во второе уравнение системы (1):

, (4)

причём . Вычислим частную производную от сложной функции : . Учитывая (3), получаем .

Поскольку якобиан , то и поэтому, на основании теоремы о неявной функции, уравнение (4) определяет неявную функцию , причём . Учитывая (2), получаем – систему неявных функций, которая определяется системой уравнений (1). ■

Теорема 2 (о дифференцируемости системы двух неявных функций). Если выполняются условия теоремы 1 и функции и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки по всем переменным, то неявные функции , которые определяются системой уравнений (1), являются дифференцируемыми в окрестности точки и их частные производные однозначно определяются из систем линейных уравнений

□ Согласно теореме 1 имеют место тождества

Дифференцируя их по и , получаем

т.е. являются решением системы (4), а – решениями системы (5).

Поскольку якобиан и является непрерывной функцией, то по теореме о стабилизации знака существует окрестность точки , в которой якобиан не равен нулю. Таким образом, системы (4) и (5) имеют в окрестности точки неравные нулю определители и поэтому они однозначно разрешимы в окрестности точки . Поскольку коэффициенты систем (4) и (5) непрерывны в окрестности точки , то их решения также непрерывны. Из непрерывности частных производных и в окрестности точки следует их дифференцируемость в этой окрестности. ■

Теорема 3 (Общая теорема о существовании системы неявных функций). Пусть , функции имеют непрерывные частные производные в окрестности точки и якобиан , а . Тогда в некоторой окрестности точки система имеет единственное решение , причём . При этом функции – дифференцируемые, а их частные производные единственным образом определяются из системы уравнений:

[Здесь для каждого своя система из уравнений. Всего уравнений.]