§8.3. Зависимость функций.

Пусть функции непрерывно дифференцируемы в области .

def. Функцию называют зависимой от функций на множестве , если существует непрерывно дифференцируемая функция такая, что . (1)

def. Система функций называется зависимой на множестве , если хотя бы одна из них зависит от остальных на . Если же ни одна из функций не зависит от остальных, то такую систему функций называют независимой на .

Пример 1. Рассмотрим функции .

Поскольку , то , т.е. существует функция такая, что . Таким образом, система функций является зависимой.

def. Прямоугольную матрицу (2)

называют матрицей Якоби.

Изучим условия зависимости и независимости системы функций.

Теорема 1 (необходимое условие зависимости). Если система функций зависима на , то ранг матрицы Якоби меньше, чем в каждой точке .

□ Если , а – ранг матрицы Якоби, то .

Пусть . Поскольку – зависимы на , тогда одна из функций, например , зависит от остальных, т.е. имеет место (1). Вычислим частные производные как сложной функции из (1). Имеем

.

Это равенство означает, что последняя строка матрицы Якоби (2) есть линейная комбинация первых строк:

Поэтому все определители – го порядка равны нулю, т.е. ранг матрицы Якоби . ■

Теорема 2 (достаточное условие независимости). Если хотя бы в одной точке ранг матрицы Якоби (2) равен , то система функций независима на .

□ (от противного) Если допустить зависимость этой системы функций, то в соответствии с теоремой 1 ранг матрицы Якоби (2) меньше, чем во всех точках области . Но это невозможно, поскольку в точке ранг матрицы Якоби равен ?!? (пришли к противоречию). ■

Теорема 3 (достаточное условие зависимости). Пусть функции непрерывно дифференцируемы в окрестности и ранг матрицы Якоби в точке равен , причём . Тогда в достаточно малой окрестности функция зависит от функций , которые независимы в этой окрестности, т.е. имеют место равенства (1).

□ Независимость функций в следует из теоремы 2.

Согласно теореме 3 §8.2 система уравнений разрешима относительно переменных и имеет единственное решение в окрестности точки , причём функции являются непрерывно дифференцируемыми, и имеют место тождества

, (3)

, (4)

Дифференцируя тождества (3) по переменным , получим

(5)

Поскольку функции непрерывно дифференцируемые, то функция

(6)

как композиция является непрерывно дифференцируемой.

Остаётся доказать, что функция не зависит явно от переменных . Для этого достаточно доказать, что .

Убедимся в том, что . Продифференцируем функцию из равенства (6) по переменной как сложную функцию . (7)

Рассмотрим следующий минор порядка матрицы Якоби:

. (8)

Поскольку ранг матрицы Якоби равен , то . Умножим первые столбцов матрицы соответственно на и прибавим их к последнему столбцу. Поскольку первые элементов последнего столбца из (8) станут равными (5) (при ), т.е. равными нулю, а последний элемент как раз является из (7), и матрица принимает вид , то . Поскольку , то . Аналогично получается, что .

Таким образом, функция из (6) не зависит от переменных и поэтому функция , т.е. функция зависит от . ■

Из этой теарэмы непосредственно получается

Следствие. Пусть функции являются непрерывно дифференцируемыми в некоторай окрестности и при каждом ранг матрицы Якоби равен . Тогда среди функций существуют независимых в окрестности функций, а каждая из остальных функций зависит в этой окрестности от указанных функций.