Приближённое вычисление. Пример 1. Вычислить значение функции з точностью да .

►  Из соображений симметрии достаточно уметь вычислять значения при . Поскольку , а , то . Таким образом формула позволяет производить вычисление с точностью до . ◄

2º. Раскрытие неопределённостей. Пример 2. Вычислить

► Если использовать эквивалентные функции, то ,

Если же использовать формулу Тейлора, то

◄

§5.3. Исследование функций и построение графиков.

Функцию называют возрастающей (убывающей) на , если

.

Если же , то называется неубывающей (невозрастающей ). Все такие функции называют монотонными, возрастающие и убывающие – строго монотонными.

Теорема 1 (критерий монотонности дифференцируемой функции). Дифференцируемая на промежутке функция является неубывающей (невозрастающей) на этом интервно, если и тольки если .

□ (Необходимость) Пусть является неубывающей на . Выберем произвольное значение и придадим аргументу такое приращение , чтобы . Поскольку неубывающая на , то при и при . В обоих случаях имеет место . Согласно теореме о предельном переходе в неравенствах имеем . Поскольку дифференцируемая в точке , то из последнего неравенства получаем .

(Достаточность) Пусть и – произвольные точки из . На отрезке к функции применим теорему Лагранжа:

.

Поскольку , то . Это и означает неубываемость функции на промежутке . ■

Теорема 2 (достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции). Если функция является дифференцируемой на и , то функция является возрастающей (убывающей) на промежутке

□ Пусть . Выберем , причём . Согласно тэарэме Лагранжа . Поскольку , то из последнего неравенства следует . Это значит, что функция является возрастающей на .

Аналагично рассматривается случай .  ■

Замечание. Положительность или отрицательность производной на промежутке не является необходимым условием строгой монотонности функции. Например, функция является возрастающей на , поскольку

, если .

Но при этом производная в точке равна нулю.

def. Если , то говорят, что функция имеет в точке локальный минимум (локальный максимум). Локальный максимум и локальный минимум объединяют термином локальный экстремум.

Если имеет в точке локальный экстремум и является дифференцируемой в этой точке, то по теореме Ферма, . Таким образом, локальный экстремум функции следует искать среди тех точек из области её определения, в которых её производная или равна нулю, или не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Точки, в которых функция непрерывна, а её производная или равна нулю, или не существует, называются критическими точками. Таким образом, точки экстремума функции содержатся среди её критических точек.

Например, для функций

точка является критической точкой, но для функций ога не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Это условие является только необходимым но недостаточным.

Будем говорить, что функция меняет знак при переходе через точку , если существует такая окрестность , что на одном из интервалов или она положительная, а на другом отрицательная.

Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция является дифференцируемой в некоторой проколотой окрестности точки и непрерывной в точке . Если меняет знак с минуса на плюс (з плюса на минус), то – точка минимума (точка максимума) функции . (В точке производная может не существовать.)

□ Пусть меняет знак с плюса на минус при переходе через точку . Это означает, что слева от функция возрастает, а справа – убывает:

Из этих неравенств следует, что – точка максимума функции . Аналогично рассматривается второй случай. ■

Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть точка является стационарной точкой функции (т.е. ) и в некоторой окрестности точки функция имеет производные до порядка включительно ( ), причём . Тогда:

1) если – чётное число, то – точка экстремума функции, причём точка максимума, если и точка минимума, если ;

2) если – нечётное число, то не является точкой экстремума функции .

Следствие. Если , то – точка экстремума, причём – точка максимума, если и точка минимума, если .