Оптические фононы

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см⁻¹) и слабо зависит от волнового вектора.

Фонон - квант энергии звуковой волны в кристаллах.

Энергия и импульс ФН соответственно равны:

  ;  , 

где  = h¤2p (h - постоянная Планка); w = 2pp (f - частота звука);

k = nw¤c -волновой вектор (с - скорость звука, n - единичный вектор в направлении распространения волны);

b - вектор обратной кристаллической решетки.

15) ДЕБАЯ ТЕОРИЯ твёрдого тела - теория, описывающая колебания кристаллич. решётки и обусловленные ими термодинамич. свойства твёрдого тела; предложена П. Дебаем в 1912 в связи с задачей о теплоёмкости кристалла. Д. т. основана на упрощённом представлении твёрдого тела как изотропной упругой среды, атомы к-рой совершают колебания в конечном диапазоне частот.

Кристаллич. решётка, состоящая из N элементарных ячеек по v атомов в каждой, имеет   колебат. степеней свободы. С механич. точки зрения, такую систему можно описывать как совокупность   независимых осцилляторов, каждый из к-рых соответствует отд. нормальному колебанию системы (см. Колебания кристаллической решётки)

ДЕБАЯ ЗАКОН ТЕПЛОЁМКОСТИ - теоретически выведенная П. Дебаем в 1912 ф-ла, согласно к-рой теплоёмкость С твёрдого тела при низких темп-pax T пропорц. кубу темп-ры:

где V - объём,  - ср. скорость звука. При низких темп-pax можно не делать различия между теплоёмкостью при пост. объёме   и пост. давлении С_р, поскольку в данному случае  .

16) Взаимодействия фононов. Ангармонизм колебаний означает существование взаимодействия между Ф., в процессе к-рого Ф. могут возникать, аннигилировать и рассеиваться друг на друге с изменением частоты и поляризации. При этом суммарные энергия и квазиимпульс сохраняются (последний с точностью до вектора обратной решётки).

Взаимодействие между Ф. позволяет объяснить тепловое расширение твёрдых тел, Взаимодействие Ф.- осн. механизм, посредством к-рого распределение Ф. может быть приведено в состояние тер-модинамич. равновесия. Взаимодействие Ф. играет важную роль в определении времени жизни Ф. t. Оно существенно зависит от темп-ры, резко уменьшаясь с повышением Т, что приводит к возрастанию неидеальности газа Ф.

Ф. взаимодействуют не только друг с другом, но и с др. квазичастицами: с электронами проводимости в металлах и полупроводниках, с магнонами в магнитно-упорядоченных средах (см. Спиновые волны ).

Взаимодействие магнонов с Ф. (их рассеяние и взаимопревращение)- одна из причин релаксации магнитной.

Оно определяет ширины магн. резонансов (см. Антиферромагнитный резонанс, Ферромагнитный резонанс); резонансное взаимодействие между фононом и магноном - причина т.н. ф е р р о а к у с т и ч е с к о г о р е з о н а н с а.

17) Дефектами кристалла называют всякое нарушение трансляционной симметрии кристалла — идеальной периодичности кристаллической решётки. Различают несколько разновидностей дефектов по размерности. А именно, бывают нульмерные (точечные), одномерные (линейные), двумерные (плоские) и трёхмерные (объемные) дефекты.

18) ТОЧЕЧНЫЕ ДЕФЕКТЫ (нульмерные дефекты) -нарушения идеальной кристаллич. решётки, ограниченные одним или неск. узлами. Т.д. являются вакансии, дивакан-с и и, межузелъные атомы, а также комплексы примесных атомов с вакансиями, дивакансиями и межузельными атомами. Т. д. могут быть собственными и примесными. Упругое поле, созданное Т. д., может быть значительным в пределах области, охватывающей несколько постоянных решётки а, а кулоновское - несколько десятков постоянных а.

По способу образования можно выделить: Т. д. ростовые, возникающие в процессе кристаллизации; Т.д. термические (возникают в результате прогрева, часто с последу-ющей закалкой); радиационные (см. Радиационные дефекты ),сопутствующие дислокациям (ш у б а д и с л о к а ц и и); примеси, к-рые вводятся в кристалл при легировании, и др.

К простым Т. д. следует отнести вакансии, межузельные атомы, т.н. пары Френкеля (вакансия + межузельный атом) и примесные атомы замещения. Первичные Т. д. образуются непосредственно при нагреве или облучении, вторичные - в результате перестройки, вызванной диффузией и последующим взаимодействием первичных дефектов между собой.

19) Дислокация, - это линейный дефект в кристаллической атомной решетке, выраженный неодинаковым числом атомов в соседних частях кристалла, приводящим к сгущению (или разрежению) в расположении атомов.

Различают два вида дислокаций: краевую и винтовую.

Краевая дислокация является краем одной "лишней" атомной плоскости, словно расклинивающей кристалл. Она соответствует ряду несовпадающих атомов вдоль края дополнительной неполной плоскости атомов в пределах кристалла.

Винтовая дислокация, как и краевая, представляет собой результат как-бы сдвижения части одного участка в кристалле относительно другого. Она соответствует оси спиральной структуры в кристалле, характеризуемом искажением, которое присоединяется к нормальным параллельным плоскостям, вместе формирующим непрерывную винтовую наклонную плоскость (с одним периодом), вращающуюся относительно дислокации.

20) ДЕФЕКТЫ УПАКОВКИ — дефекты кристаллической решетки, связанные с расщеплением линейных дефектов — дислокаций. При определенных условиях дислокации могут понижать свою энергию за счет расщепления на две (или больше) неполные (частичные) дислокации. При расщеплении они расходятся на некоторое расстояние, при этом между ними образуется полоска, называемая Д. у. У неполимерных кристаллов Д. у. играют важную роль в таких процессах, какдвойникование или мартенситное превращение. Д. у. полимерных монокристаллов наблюдали с помощью электронной микроскопий, однако пока этот тип дефектов и их влияние на свойства кристаллических полимеров очень мало исследованы.

ДЕФЕКТ УПАКОВКИ –— нарушение чередования плотноупакованных атомных слоев в кристаллической решетке. Например, чередование атомных слоев в плотной упаковке АВСАСАВС... свидетельствует, что в ГЦК решетке (чередование слоев АВСАВС...) имеется прослойка с ГПУ решеткой (чередование слоев САСА). 

21)

22) Энергия Ферми ( ) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентнохимическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона во основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Уровень Ферми при ненулевых температурах

где   — энергия Ферми,   — постоянная Больцмана, и   — температура. Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми  . Характерная температура имеет порядок 10⁵ K для металла, следовательно при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. 

Здесь m, s-масса и спин фермиона (в случае квазичастиц т - эффективная масса ).Для электронов (s=1/2)

В квантовой теории вероятность заполнения энер­ге­­­­тических состояний электронами определяется функцией рас­пределения Фер­ми- Дирака:

,                            (1.10)

где W - энергия уровня,  вероятность заполнения которого оп­ре­де­ляется при температуре T; k - постоянная Больцмана.

 Си­стемы ми­кро­ча­с­тиц, свойства которых опи­сы­ва­ют­ся рас­пре­­де­ле­нием Ферми-Ди­ра­ка (1.10), называются вырож­де­н­­ными.

При Т=0 график функции Ферми имеет вид, изображен­ный на рис. 1.15, а.

Из рис. 1.15, а и формулы (1.10) при Т=0 вытекают сле­ду­ю­щие соотношения:

f(W, 0)=1        для W<W_F,                                (1.11а)

f(W, 0)=0        для W>W_F,                                (1.11б)

f(W, 0)={0,1}  для W=W_F.                                (1.11в)

 

23)

24) Электронная плотность — плотность вероятности обнаружения электрона в данной точке пространства.

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение:

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решетки Lиспользуем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем

где n — любое целое число, а   — расстояние между состояниями с различными k.

25) Вследствие того что в кристалле на электрон действует периодическое поле решетки, он приобретает некоторые свойства, в корне отличающие его от классической частицы [60, 82].

Пусть на вещество наложено внешнее электрическое поле E, тогда сила, действующая на электрон,  . Скорость движения электрона равна групповой скорости распространения волн

,

(9.33)

т. к.  .

За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению электрона

.

(9.34)

Отсюда

.

(9.35)

Продифференцируем выражение (9.33) для групповой скорости   по времени и определим ускорение электрона:

.

(9.36)

Подставим сюда из формулы (9.35)  , тогда

.

(9.37)

Эта формула выражает второй закон Ньютона. Под действием внешней силы F, возникающей при наложении поля, электрон движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон некоторой массы  , определяемой соотношением

.

(9.38)

Значение массы   носит название эффективной массы электрона в решетке.

Для свободного электрона, энергия которого определяется как , эффективная масса   принимает значение массы покоя электрона m.

Эффективная масса не является массой в ее обычном понимании. Она не определяет ни гравитационных, ни инерционных свойств электрона. По величине она может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона, а по знаку – как положительной, так и отрицательной.

Приближение сильной связи. Это приближение, называемое приближением сильной связи, базируется на предположении, что энергия связи электрона в данном атоме больше энергии взаимодействия этого электрона с полями, создаваемыми другими атомами. В таком случае электронные состояния в конденсированном веществе (кристаллах и жидкостях) должны иметь сходство с электронными состояниями изолированных атомов, поскольку взаимодействие атомов друг с другом не сможет радикально изменить систему электронных состояний атома.

      Приближение сильной связи хорошо описывает систему энергетических уровней электронов в случае атомов, хорошо удерживающих свои электроны, например в ионных и ковалентных кристаллах. 

Моде́ль Ха́ббарда — приближение, используемое в физике твёрдого тела для описания перехода между проводящим и диэлектрическим состояниями

Но теперь представим себе, что расстояние между соседними атомами постепенно увеличивается. В какой-то момент цепочка должна перестать проводить ток.

С другой стороны, в представлении модели Хаббарда, гамильтониан системы содержит два слагаемых. Первое из них — перескоковый интеграл «t», отвечающий за кинетическую энергию электронов. Второе — внутриузельное отталкивание «U», соответствующее потенциальной энергии кулоновского отталкивания электронов. Записанный во вторичном квантовании гамильтониан Хаббарда выглядит следующим образом:

26) В кристалле скорость движения электронов V  10⁵ м/с, поэтому около данного узла решетки он находится в течение приблизительно 10^-15 с. Приняв это значение времени за t, получим ширину энергетического уровня E  1 эВ. Такой результат свидетельствует о том, что при образовании кристалла энергетический уровень электрона расщепляется в энергетическую зону (рис. 9.3). Эффект расщепления энергетических уровней на зоны для металлического натрия и элементов IV группы таблицы Менделеева (алмаз, кремний и германий) показан на рис. 9.4.

где   означает ближайшие узлы в решётке.

27) БРЭГГОВСКОЕ ОТРАЖЕНИЕ - схемы дифракции рентгеновских лучей, при к-рой падающий и дифракционный лучи лежат по одну сторону от поверхности кристалла (рис., а). В том случае, когда падающий и дифракционный лучи находятся по разные стороны кристаллич. пластины (рис., б), имеет место лауэвское прохождение (Л. п.). Если угол j между системой атомных плоскостей, находящихся в отражающем положении, и входной поверхностью кристалла равен нулю, то Б. о. наз. симметричным, в остальных случаях - асимметричным. При   имеет место симметричное Л. п.

Флуктуации показателя преломления (флуктуация - термин, характеризующий любое колебание или любое периодическое изменение) приводит к отражению света распространяющегося вдоль волокна в узком диапазоне длин волн, для которых выполняются условия Брэгга (см. брэгговские зеркала):

где Λ- период решетки, λ - длины волны света в вакууме, и n_eff  - это эффективный показатель преломления света в волокне.

28) Зонная теория твёрдого тела — квантовомеханическая теория движения электронов в твёрдом теле.

Мета́ллы  — группа элементов, обладающая характерными металлическими свойствами, такими как высокие тепло- и электропроводность, положительный температурный коэффициент сопротивления, высокаяпластичность и металлический блеск.

Диэлектрик (изолятор) — вещество, плохо проводящее электрический ток. Концентрация свободных носителей заряда в диэлектрике не превышает 10⁸ см⁻³. Основное свойство диэлектрика состоит в способности поляризоваться во внешнем электрическом поле. С точки зрения зонной теории твёрдого тела диэлектрик — вещество с шириной запрещённой зоны больше 3 эВ.

Полупроводники́ — материалы, которые по своей удельной проводимости занимают промежуточное место между проводниками и диэлектриками и отличаются от проводников сильной зависимостью удельной проводимости от концентрации примесей, температуры и воздействия различных видовизлучения. Основным свойством этих материалов является увеличение электрической проводимости с ростом температуры^[1].

1. проводники — материалы, у которых зона проводимости и валентная зона перекрываются (нет энергетического зазора), образуя одну зону, называемую зоной проводимости (таким образом, электрон может свободно перемещаться между ними, получив любую допустимо малую энергию);

2. диэлектрики — материалы, у которых зоны не перекрываются и расстояние между ними составляет более 3 эВ (для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется значительная энергия, поэтому диэлектрики ток практически не проводят);

3. полупроводники — материалы, у которых зоны не перекрываются и расстояние между ними (ширина запрещенной зоны) лежит в интервале 0,1–3 эВ (для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия меньшая, чем для диэлектрика, поэтому чистые полупроводники слабо пропускают ток).

а)

б)

в)

г)

29)