Биномиальная система счисления
Представление, использующее биномиальные коэффициенты
,
где 
.
3.Позиционная система счисления
Позиционная система счисления определяется целым числом b > 1, называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием b также называется b-ричной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т. п.).
Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:[1]
, где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству
Каждая степень в такой записи называется разрядом (позицией), старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя степени . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра в b-ричном представлении была также ненулевой.
Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:[1]
Построение такой записи числа называют позиционным кодированием числа, а саму запись — позиционным кодом числа.
Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
Во избежание путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса:
С помощью n позиций в b-ричной системе счисления можно записать целые числа от 0 до , то есть, всего различных чисел.
Сложение. В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел (табл. 6). Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц производится перенос в старший разряд. Это происходит тогда, когда величина числа становится равной или большей основания системы счисления. Сложение многоразрядных двоичных чисел выполняется в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа : Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и сложим их: Вычитание. В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел (табл. 7). При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой. Вычитание многоразрядных двоичных чисел реализуется в соответствии с этой таблицей с учетом возможных заемов в старших разрядах. Для примера произведем вычитание двоичных чисел : Умножение. В основе умножения лежит eтаблица умножения одноразрядных двоичных чисел (табл. 8). Умножение многоразрядных двоичных чисел осуществляется в соответствии с этой таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Рассмотрим пример умножения двоичных чисел.
4. Перевод чисел в различных системах счисления
Для перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием поступают следующим образом:
а) Для перевода целой части числа его делят нацело на основание системы, фиксируя остаток. Если неполное частное не равно нулю продолжают делить его нацело. Если равно нулю остатки записываются в обратном порядке.
б) Для перевода дробной части числа ее умножают на основание системы счисления, фиксируя при этом целые части полученных произведений. Целые части в дальнейшем умножении не участвуют. Умножение производиться до получения 0 в дробной части произведения или до заданной точности вычисления.
в) Ответ записывают в виде сложения переведенной целой и переведенной дробной части числа.
перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
Перевести число 75,375 в двоичную систему счисления.
а) переведем в двоичную систему целую часть - 75
75 : 2 = 37 ( 1 ); 37 : 2 = 18 ( 1 ); 18 : 2 = 9 ( 0 ); 9 : 2 = 4 ( 1 ); 4 : 2 = 2 ( 0 );
2 : 2 = 1 ( 0 ); 1 : 2 = 0 ( 1 );
Закончив деление, запишем остатки в обратном порядке, и получим искомый результат:
75=10010112
б) переведем в двоичную систему дробную часть - 0,375
0,375 : 2 = 0,750 : 2 = 1,500 : 2 = 1,000
Выделенные числа запишем в естественном порядке и получим дробное число в двоичной системе счисления:
0,375 = 0,0112
в) получив целую и дробную части числа в двоичном виде (75=10010112 и 0,375 = 0,0112 ) можем сделать вывод:
75,375=75+0,375 = 10010112+0,0112=1001011,0112, значит 75,375=1001011,0112
перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.
Представить десятичное число 157,23 в шестнадцатеричной системе счисления. Целая часть числа равна 157, дробная - 0,23.
а) переведем в двоичную систему целую часть - 157
157 : 16 = 9 (13 или D); 9 : 16 = 0 ( 9 )
Закончив деление, запишем остатки в обратном порядке, и получим искомый результат:
157=9D 16
б) переведем в двоичную систему дробную часть - 0,23.
Результат умножения 0,23 на 16 равен 3,68. Целая часть этого числа равна 3, значит первый коэффициент дробной части равен 3. Дробная часть равна 0,68. Снова умножим ее на основание системы: 0,68*16=10,88. Целая часть равна 10 или в шестнадцатеричной системе А. Дробная часть равна 0,88, она опять умножается на 16 и так далее.
Выпишем весь процесс:
0,23 * 16 = 3,68 ( 3 ); 0,68 * 16 = 10,88 ( А ); 0,88 * 16 = 14,08 ( Е ); 0,08 * 16 = 1,28 ( 1 );
0,28 * 16 = 4,48 ( 4 ); 0,88 * 16 = 14,08 ( Е ); 0,08 * 16 = 1,28 ( 1 ); 0,28 * 16 = 4,48 ( 4 );
0,48 * 16 = 7,68 ( 7 ); 0,68 * 16 = 10,88 ( А ); 0,88 * 16 = 14,08 ( Е );
Замечаем, что последовательность чисел 0,68; 0,88; 0,08; 0,28; 0,48 повторилась уже 2 раза и начинается в третий раз. Получается бесконечная шестнадцатеричная дробь в которой период (бесконечно повторяемая последовательность цифр) заключен в скобки:
157,23=9D,3(АЕ147)16
перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления
Перевести число 1001011,0112 в десятичную систему счисления
1001011,0112 = 1*26+0*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2+1*2-3 =64+8+2+1+0,25+0,125=75,375
Двоичная система проста, так как использует две цифры, но громоздка. В десятичной хранить числа в памяти возможно, но сложен перевод из десятичной в двоичную и обратно и занимает много времени. Необходима система счисления компактнее двоичной, но с более простым переводом.
23 = 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
Переведем число 1001011,0112 в восьмеричную систему счисления. Разобьем данное число на триады, приписав слева недостающие нули:
001 001 011 , 011
1 1 3 , 3
и заменим каждую триаду соответствующим восьмеричным кодом (см. таблицу). Можем сделать вывод: 1001011,0112 = 113,38
перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.
Переведем число 347,258 в двоичную систему счисления. Каждую цифру восьмеричного числа заменим соответствующей триадой (см. таблицу).
3 4 7 , 2 5
011 100 111 , 010 101
Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа: 347,258 = 11100111,0101012
Восьмеричная система компактнее двоичной и с более простым переводом чисел, однако, современные требования к ЭВМ заставили создавать шестнадцатеричную систему счисления.
24 = 16 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.
Переведем число 1001011,0112 в шестнадцатеричную систему счисления. Разобьем данное число на тетрады, приписав слева в целой части, и справа в дробной части недостающие нули:
0100 1011, 0110
4 В , 6
и заменим каждую тетраду соответствующим шестнадцатеричным кодом (см. таблицу). Можем сделать вывод:
1001011,0112 = 4В,616
перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.
Переведем число А4F,C516 в двоичную систему счисления. Каждую цифру шестнадцатеричного числа заменим соответствующей тетрадой (см. таблицу).
A 4 F , C 5
1010 0100 1111 , 1100 0101
Запишем ответ, удалив нули слева в записи числа: A4F,C516 = 101001001111,110001012