Функции распределения

Экспериментальные измерения наблюдаемых можно разделить на два типа: воспроизводимые и невоспроизводимые. Так, измеряя массу молекулы газа, мы в серии повторных измерений будем всегда получать одно и то же число, т.е. масса — пример воспроизводимой наблюдаемой. На вопрос: "какова масса молекулы?" мы всегда можем ответить одним числом "М = М" (например, для молекулы воды М = 18 у.е.).

Измеряя кинетическую энергию той же молекулы газа, мы в серии повторных измерений каждый раз будем получать новое числовое значение — одно из допустимых значений, входящих в спектр этой наблюдаемой. Некоторые из этих чисел будут получаться чаще, а другие — реже. Опыт показывает, что относительная частота получения тех или иных допустимых значений стремится к некоторому постоянному пределу при увеличении числа повторных измерений. Эти пределы относительных частот носят название вероятностей (Р). Таким образом, если мы имеем дело с невоспроизводимой наблюдаемой, то мы можем охарактеризовать каждое допустимое значение в спектре дополнительным числом — вероятностью его обнаружения при проведении непосредственного измерения:

ю

Такая комбинация спектра с вероятностями называется функцией распределения наблюдаемой. Функцию распределения удобно изображать в виде графика зависимости вероятности от числового значения наблюдаемой. Например, для кинетической энергии молекулы газа такой график имеет следующий качественный вид:

С помощью функции распределения мы можем дать хотя и не вполне однозначный, но все же содержательный ответ на вопрос: "Чему равна энергия молекулы газа?", несмотря на невоспроизводимый характер этой наблюдаемой.

Функции распределения как заменители механических наблюдаемых широко применяются, особенно для таких систем, в которых экспериментальные измерения наблюдаемых затруднены теми или иными обстоятельствами — в случае микроскопических систем (квантовая механика), а также в случае систем, интенсивно взаимодействующих с окружающей средой (статистическая механика). Заметим, что обычные (воспроизводимые) наблюдаемые также можно рассматривать как функции распределения, но имеющие бесконечно малую ширину. Например, функцию распределения для массы молекулы можно изобразить так:

Механическое состояние

Понятие "состояния" является, наряду с понятием "наблюдаемой", еще одним важнейшим элементом механического способа описания. Любой реальный объект бесконечно разнообразен в качественном отношении. Если мы поставим себе задачу описать объект исчерпывающим образом (т.е. получить всю информацию об объекте, которая в принципе может быть обнаружена экспериментально), то нам придется провести бесконечно много разных измерений с помощью бесконечного числа различных приборов. В результате будет получен бесконечно длинный список числовых значений всех мыслимых наблюдаемых:

А = А ; В = В ; С = С ; … и т.д.

Очевидно, что эта задача является практически невыполнимой. Ситуация, однако, облегчается тем, что не все наблюдаемые являются полностью независимыми друг от друга. Во многих случаях, зная значение одной или нескольких наблюдаемых, мы уже априори можем предвидеть те значения, которые будут получены при измерении других наблюдаемых.

Рассмотрим для примера систему, представляющую собой 1 моль химически инертного газа, заключенный внутри сосуда. Экспериментально измерив давление (Р) и температуру (Т) газа, мы можем априори утверждать, что объем газа (V) будет равен V = RT/P, где R — универсальная газовая постоянная. Экспериментальная проверка подтвердит правильность нашего предположения. Аналогично, зная величины объема и температуры, мы можем предсказать значение давления и т.д. Другими словами, числовые значения некоторых наблюдаемых связаны между собой определенными уравнениями состояния.

Наличие уравнений состояния позволяет исключить некоторые наблюдаемые из списка подлежащих экспериментальному измерению и несколько сократить этот бесконечный список. Можно поставить вопрос таким образом: каково максимальное число наблюдаемых, которые можно исключить таким образом? Ответ на этот вопрос известен: число таких наблюдаемых бесконечно, но несколько меньше общего числа наблюдаемых. Разница между этими двумя бесконечными списками представляет собой небольшой набор наблюдаемых, измерение которых, с одной стороны, необходимо, а, с другой стороны, достаточно для получения всей возможной информации об исследуемом объекте. Этот остаток часто называется фундаментальным набором, а количество наблюдаемых в нем — числом степеней свободы (r).

Например, для системы, содержащей 1 моль идеального газа, число степеней свободы r = 2. Отсюда следует, что для получения исчерпывающей информации об этой системе достаточно измерить любые две наблюдаемые. Числовые значения всех остальных наблюдаемых можно рассчитать по уравнениям состояния идеального газа.

Достаточно очевидно, что фундаментальный набор можно выбрать из полного списка наблюдаемых многими способами. Все эти варианты будут эквивалентными (взаимозаменяемыми) и все они будут содержать одинаковое число наблюдаемых (r). Например, электрон в атоме водорода может быть описан фундаментальныv набором из четырех наблюдаемых. Обычно используется следующий набор:

• энергия Е,

• длина вектора орбитального момента |L|,

• проекция вектора орбитального момента L_z,

• проекция вектора спинового момента S_z.

В некоторых случаях бывает удобнее другой набор:

• энергия Е,

• длина вектора орбитального момента |L|,

• длина вектора полного момента |J|,

• проекция вектора полного момента J_z.

Оба эти набора эквивалентны и их можно взаимно преобразовывать без потери информации: { Е, |L|, L_z, S_z } ~ { Е, |L|, |J|, J_z }.

Таким образом, для полного описания системы достаточно указать числовые значения только тех наблюдаемых, которые входят в фундаментальный набор.

 = { A = A ; B = B ; C = C }

Такой минимально необходимый и достаточный набор (список) наблюдаемых, для каждой из которых указано ее числовое значение, называется механическим состоянием системы.

Следует подчеркнуть, что этот список содержит не всю информацию о системе, а только механическую, т.е. которую можно получить посредством экспериментальных измерений и выразить посредством чисел. Кроме того, выявить эту информацию полностью можно только располагая полным набором уравнений состояния.

При введении понятия "состояние" важно учитывать одно принципиальное требование. Оно заключается в том, чтобы все числовые значения наблюдаемых, входящих в фундаментальный набор, относились к одному и тому же моменту времени. Пусть, например, наша система представляет собой движущееся тело с массой m. Мы можем определить две наблюдаемые: кинетическую энергию Т и модуль вектора импульса | р |. Проведем последовательно несколько измерений и получим такую таблицу:

Время, t	Энергия, T	Импульс, | р |
t1	T1	p1
t2	T2	p2
...	...	...

Известное уравнение состояния Т = р²/2m будет выполняться только тогда, когда значения энергии и импульса отнесены к одному и тому же моменту времени, т.е.:

Т₁ = р₁² / 2m и Т₂ = р₂² / 2m ;

но Т₁  р₂² / 2m и Т₂  р₁² / 2m

Для систем, находящихся в стационарных (т.е. не изменяющихся во времени) состояниях это ограничение, очевидно, не имеет значения.

Таким образом, состояние объекта представляет собой определенную комбинацию наблюдаемых, содержащую полную (только в определенном — механическом — смысле) информацию об этом объекте. В этом отношении состояние напоминает сложную наблюдаемую векторного типа. Действительно, если пользоваться всегда одним и тем же фундаментальным набором, то можно абстрагироваться от конкретного смысла наблюдаемых и задавать состояние просто списком чисел — числовых значений этих наблюдаемых:

При таком переходе необходимо, конечно, держать в уме список используемых наблюдаемых и порядок их расположения.

Новое выражение состояния — только в виде набора чисел — называется вектором состояния. Такое название связано с тем, что этот набор чисел обладает всеми свойствами математических векторов. Наиболее существенной особенностью векторов состояния является то, что полная совокупность всех мыслимых состояний любой системы, изображенных векторами состояния, образует математическую структуру — "векторное пространство". В механическом способе описания оно называется пространством состояний (ПС).

Примерами таких ПС могут служить:

• трехмерное конфигурационное пространство с координатными осями x, y, z (если имеется N частиц, то размерность равна 3N);

• четырехмерное Галилеево пространство, в котором к пространственным осям добавлена временна́я x, y, z, t;

• 6-мерное фазовое пространство, в котором кроме трех пространственных осей имеются еще три оси для скоростей (или импульсов) x, y, z, v_x, v_y, v_z (если имеется N частиц, то размерность равна 6N);

• бесконечномерное Гильбертово пространство квантовой механики, где в качестве координатных осей служат некоторые специальные состояния, например, стационарные;

• пространство составов (с переменной размерностью), в котором координатным осям соответствуют чистые химические вещества, а векторам — смеси;

• элементное пространство (с переменной размерностью), в котором координатным осям соответствуют химические элементы, а векторам — химические соединения.