1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размера или -матрицей.

Матрицу будем обозначать или . Числа называются элементами матрицы, индекс обозначает номер строки, а индекс ‑ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если , то матрица называется квадратной матрицей порядка .

В квадратной матрице -го порядка диагональ, состоящая из элементов называется главной диагональю, состоящая из элементов ‑ побочной диагональю.

Квадратная матрица:

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. , то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой называется единичной и обозначается буквой . Например, единичная матрица третьего порядка:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы и называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

2.Действия над матрицами.

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

Коммутативность, т.е. .

Ассоциативность, т.е. .

Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

; ; ; (ассоциативность); (дистрибутивность); (дистрибутивность).

Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Свойства умножения:

Если матрица согласована с матрицей , а матрица согласована с матрицей , то ‑ ассоциативность умножения;

‑ свойство дистрибутивности;

Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .

3.Обратная матрица. Пример.

Пусть - квадратная матрица порядка . Матрица называется обратной матицей к матрице , если выполняются равенства , где ‑ единичная матрица порядка .

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.Пусть и ‑ матрицы, обратные к матрице . Тогда , с другой стороны, . Откуда . Обратную матрицу к матрице обозначают . Теорема 2. Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .Пусть имеет обратную матрицу. Тогда и, применяя теорему об умножении определителей, получаем или . Следовательно, .Пусть . Укажем явное выражение матрицы через элементы матрицы , а именно: если , то:

,

здесь ‑ алгебраическое дополнение к элементу . Матрица получается из матрицы следующим образом. Сначала вместо каждого элемента пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную .Непосредственное умножение на матрицу слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, матрица, обратная к .

4.Теорема Кронекеля-Копеля.?Ответ о совместимости системы линейных ур-ний дает теорема Кронекеля-Конеля.Система совместима тогда и только тогда когда ранг матрицы А =рангу матрицы .Для того чтобы установить совместность системы нужно:1)найти ранг матрицы основной(r(A));2)найти r( ).Тогда если: 1)если r(A)= r( )=n,где n-число неизвестных,то система имеет ед. решение.2)если r(A)≠ r( ),то система не совместна и нет решений.3)если r(A)= r( )<n,то бесконечно много решений,в этом случае систему преобразуют так чтобы остались лишь уравн. коэф-ты при неизвестных у котор. образ. базисный минор. В оставшихся уравн. в левой части оставл. только те неизвестные (их наз. главными)коэф-ты при которых образуют базисный минор, все остальные неизвестные (свободные неизв.) переносят в правую часть и придавая разные значения свободным неизвестным мы будем получать частные решения.

5.Векторы.Основные понятия. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

направлением;длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, , или двумя буквами со стрелкой , где точка есть начало вектора (его точка приложения), а ‑ его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначается или и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .

Два вектора называются равными, если:

1. равны их длины;

2. они параллельны;

3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

6.Способы задания векторов.1 сп.) Задание векторов координатами.О.1.Координатами в ДПСК принято называть проекцией вектора на соотв. координатные оси. Напр: = (2;3) - на плоскости; =(2;3;4)-в пространстве.2 сп.)Направление вектора можно задать указав углы что образуют вектор соотв.осями координат с OX-α,OY-β,OZ-γ(в пространстве).3 сп.)Задание вектора,указав начало и конец,двумя точками A(x₁,y₁,z₁) B(x₂,y₂,z₂). 4 сп.)Задание вектора через составляющие: