- •Она определенна в (.) х0 ;
- •8.Точки разрыва функции
- •10. Производная сложной функции
- •12.Производная высших порядков.
- •14.Исследование функции на вогнутость, выпуклость.
- •15.Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами
- •16.Определение скалярного произведения векторов.
- •17. Скалярное произведение в координатной форме.(формула)
- •19.Векторное произведение векторов в координатной форме(формула)
Предел числовой последовательности –
Число А называется пределом числовой последовательности {Xn }, если для любого
ε > 0 (сколь угодно малого) найдётся номер N(ε) такой что, для всех n>N будет выполнятся неравенство (Xn –A) < ε
Предел функции по Гейне (на языке последовательности)
А называется пределом функции y=f(x)
при x→xо , если для любой последовательности допустимых аргументов сходящихся к хо
( = xo ), соответственно последовательность функций сходится к числу А
=A, запис. =A
Предел функции по Каши
(на языке ε- окрестности) А называется пределом функции y=f(x) при x→xо если для любого ε > 0 (сколь угодно малого) найдётся
такое, что: как только будет выполняться неравенство 0 < (x - xо) <
так будет выполняться неравенство
(f(x)-A) <
4.Теорема о существовании конечного предела:
5.1-ый замечательный предел:
6.2-ой замечательный предел:
7.Непрерывность функции в точке:
Ф-ция y = f(x) называется непрерывной в (.) х0, если:
Она определена в этой точке (.) х0
Существует
y = x2 – непрыв. в (.) x0
1.
2.
3.
В (.) x0 = 2 f(x) непрерыв.
Ф-ция y = f(x) называется непрерывной в (.) х0, если:
б. м преращение аргумент ∆x соответствует б.м преращение ф-ии
она определенна в (.) х0 ;
Ф-ция y = f(x) называется непрерывной в (.) х0, если:
Она определенна в (.) х0 ;
односторонние пределы
3.
8.Точки разрыва функции
Различают 2 вида разрыва ф-ции:
1-го рода
2-го рода
Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то х0 – (.) разрыва
Если
(А и В – конечные числа, при чём А , то в (.) х0 разрыв 1-го рода, в (.) х0 – скачок =
Если А = В, то в (.) х0 – устранимый разрыв 1-го рода
Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен то в (.) х0 разрыв 2-го рода.
9.Производная – предел отношение преращения ф-ции к преращению аргумента при условии, что последнее стремится к 0.
10. Производная сложной функции
Пусть и . Тогда можно определить сложную функцию . Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция по правилу цепочки:
.
Или более кратко .
Правило можно записать также в виде: .
11. Производная функции, заданная параметрически. Теорема: Пусть функция задана параметрически , где функции x(t) и y(t) дифференцируемы. Тогда y’x= .
12.Производная высших порядков.
Если функция f(x) , определенная в A , имеет производную во всех точках A , то эту производную можно рассматривать как новую функцию g(x)=f’(x) ,x принадлежит А .
К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.
Если g(x), определенная в A , имеет конечную производную g’(x) в точке x прин. A , то значение этой производной является второй производной функции f(x) .
Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.
13.Исследование функции на монотонность. Точки экстремума. Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых точек и из промежутка , удовлетворяющих неравенству . Функция называется убывающей на , если из условия следует .
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то для того, чтобы была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала .
Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке тогда и только тогда, когда
Локальный экстремум
Точка называется точкой локального максимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.
Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение: .
Решения этого уравнения называют стационарными точками.
Исследование стационарных точек
I правило. Если при возрастании при переходе через стационарную точку производная меняет знак с + на ‑ , то ‑ точка локального максимума. Если меняет знак с ‑ на + , то ‑ точка локального минимума функции . Если не меняет знак в точке , то экстремума нет.
II правило. Если вторая производная в стационарной точке положительная, то ‑ точка локального минимума функции . Если вторая производная в стационарной точке отрицательная, то ‑ точка локального максимума функции .
Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.
Глобальный экстремум.Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и поступают следующим образом.
Находят стационарные точки функции;
Находят точки , в которых производная не существует или обращается в бесконечность;
Вычисляют значения:
‑ и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.
Это и будут и ‑ глобальные экстремальные значения.