17. Скалярное произведение в координатной форме.(формула)

Если векторы заданы своими координатами и , т.е. , , то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

18.Векторное произведение векторов(определение) Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяется условиями:

1. , где ‑ угол между и ;

2. перпендикул каждому из векторов и ;

3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда и коллинеарны. В частности, для любого вектора ;

5. Если и неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на этих векторах, как на сторонах.

19.Векторное произведение векторов в координатной форме(формула)

20.Смешанное произведение векторов (определение). Смешанным произведением тройки векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение . Если рассматриваемые векторы , и некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор , то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов (которое обозначается ) есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Знак произведение положителен, если векторы , и , образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

21.Смешанное произведение векторов в координатной форме.

.