30. Третье свойство мож (мож произведения 2-х независимых случ.Величин) – словесная формулировка, мат.Запись, доказательство, следствие.

Мож произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию их математических ожиданий: Доказательство. Пусть независимые св Х и У заданы законами распределения вероятн:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY. Для этого перемножим все воз­можные значения Х на каждое возможное значение У. В итоге получим: x₁y₁, x₂y₁, x₁y₂ и x₂y_2.

Учитывая замечание 3 ( P(x_iy_i)= P(x_i) P(y_i) ), напишем закон распределения XY, предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

Математическое ожидание ( согласно определения МОЖ) равно сумме произведений всех возможных значений ДСВ на их соответствующие вероятности:

или

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

Для произвольного числа случайных величин дока­зательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Для упрощения выкладок мы ограничились малым числом возможных значений. В общем случае (большим числом возможных значений) доказательство аналогичное.

Случайные величины Х и У независимые, поэтому искомое ма­тематическое ожидание

Замечание 4. Определим сумму случайных величин X и Y как случайную величину X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным зна­чением У;

Вероятности возможных значений X+Y для независимых величин Х и У равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых величин — произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Заметим, что некоторые суммы х + у могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей.

Например, если х₁ + у₂= х₃ + у₅ и вероятности этих возможных значений соответственно равны P(х₁ + у₂)= p₁₂ и P(х₃ + у₅ )=p₃₅, то вероятность х₁ + у₂ (или, что тоже, х₃ + у₅) равна P(х₁ + у₂)= p₁₂+ p_35.

Следующее ниже свойство справедливо как для неза­висимых, так и для зависимых случайных величин.

31. Четвёртое свойство мож (мож суммы 2-х случ.Величин) - словесная формулировка, мат.Запись, доказательство, следствие.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: Доказательство. Пусть св Х и Y заданы законами распределения: Составим все возможные значения величины X+Y. получим- x₁ + y₁, x₁ + y₂, x₂ + y₁, x₂ + y_2. Предположим для простоты, что эти возможные значения различны ,обозначим их вероятности Мож величины Х + Y равно сумме произведений возможных значений этой величины на соответствующие их вероятности:

или

В общем случае доказатель­ство аналогичное. Докажем, что p₁₁+p₁₂=p_1. x₁ (вероятность этого события равна p₁), влечёт за собой событие X+Y примет значение x₁+y₁ или x₁+y₂ (вероятность этого события по теореме сложения равна p₁₁+p₁₂) и обратно. Отсюда и следует, что p₁₁+p₁₂=p₁ . Аналогично доказываются равенства: p₂₁+p₂₂=p₂; p₁₁+p₂₁=g₁; p₁₂+p₂₂=g₂; Подставляя правые части этих равенств в соотноше­ние (*), получим или окончательно Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математичес­ких ожиданий слагаемых. Пример. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁==0,4; p₂==0,3 и р₃=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.