8. Понятие произведения событий

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А, В, С — совместные события, то их произведение ABC означает наступление и события А, и события В, и события С.

9. Понятие разности событий

Разностью А-В двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.

10) Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

11

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событийА и В вычисляется по формуле:

.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)Р_A(В).

12. Следствие 1(теорема о сложение вероятн. не совместных событий)

P(A)+P(A)=1

Следствие 2(Теорема о слежение вероятноcтей совместных событий)

Вероятность появления какого либо из двух событий равна сумме вероятностей

этих событий ,без вероятности их совместного проявления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Следствие 3

Вероятность появления хотя бы одного из группы независимых событий.P(хотя бы одного)= 1-q₁q₂

13.Вероятность события А найдена в предположение ,что событие В уже наступило ,называется условная вероятность.

P_A(B)=P(AB)/P(B) => Умножение вероятностей : P(AB)=P(B) P_A(B)

14/предположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) Н₁, H₂, ..., H_n. Пусть также имеется некоторое событие А и известны Р(Н_i) - вероятность гипотезы, P(A!H_i) - условная вероятность события А при этой гипотезе). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

15Пусть   — полная группа событий, и   — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие  , если в результате эксперимента наблюдалось событие  , может быть вычислена по формуле:

16. Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е.  , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой  .

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

17. При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например,   вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

 – среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для   и  . При больших   рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

18. Пусть в каждом из   независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью  ,   (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через   вероятность ровно   появлений события А в   испытаниях. кроме того, пусть  – вероятность того, что число появлений события А находится между   и  .

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

 где   - функция Гаусса

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) 

б) при больших   верно  .

19. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях собы­тие А состоится число раз, заключенное в границах от а до b включительно (а < b), приближенно равна:

,

где функция Ф (х) определяется равенством

,

Формула называется интегральной формулой Муавра— Лапласа. Получаемые по интегральной и локальной формулам Муа­вра — Лапласа вероятности достаточно точны, если произведение nр составляет несколько сотен. В задачах, не требующих большой точ­ности ответа, можно пользоваться этими формулами и в случаях, ког­да произведение np имеет небольшое значение, однако не меньшее