1. Общие положения к типовому заданию.

Математические методы все шире и шире проникают в повседневную инженерную деятельность, в приложения математики к технике особое место занимают дифференциальные уравнения. В своей практической ра­боте инженер (конструктор, механик, технолог) часто сталкивается с необходимостью решения задач с переменными величинами, самостоятельного составления дифференциальных уравнений.

Предлагаемое типовое задание посвящено изучению темы "Обыкновен­ные дифференциальные уравнения". Цель его - помочь студенту усвоить данный раздел и приобрести навыки самостоятельной работа.

Каждый вариант типового задания содержит шесть пунктов:

1. Теоретический вопрос

2. Задачу, связанную с выводом какого-то дифференциального уравнения

3. и его решением.

4. Уравнение первого порядка (определение типа уравнения и его интегрирования).

5. Уравнение, допускающее понижение порядка.

6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

7. Систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф­фициентами.

Пункт 5 в каждом варианте содержит три уравнения 5_1-3, из которых 5_1-2 посвящены методу неопределенных коэффициентов, а 5₃ - методу вариации произвольных постоянных. Ниже приведены примеры решения задач с некоторыми методическими указаниями.

2. Задачи, связанные с составлением дифференциального уравнения.

Задача 1. Стальная проволока длиной Lо к с поперечным сечением S растягивается силой, постепенно возраставшей до величины P.

Найти работу растяжения

Решение: Рассматривая достаточно малые деформации, воспользуемся законом Гука согласно которому деформации пропорциональны напряжениям.

(1)

При приращениях сил, мало отличающихся от нуля, приращение функции _∆L становится близким к значению дифференциала dl, т.е. при _∆Р = dP→ 0, _∆l ≈ dl. Тогда соотношение (1) для элементарного акта растяжения запишем как:

(2)

Работа растяжения на элементарном отрезке dl равна da = pdl

Здесь полагается, что на каждом элементарном отрезке работа совершается постоянной силой.

Вместо dl в формулу (3) подставим выражение из (2), тогда

(4)

Интегрируя (4), получим , где С – постоянная интегрирования, равная нулю по условию Ф=0 при з=0. Следовательно, работа растяжения проволоки может быть подсчитана по формуле:

Задача 2. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат этой кривой и ординатой любой её точки, равна ¾ абсциссы этой точки.

Решение: Абсцисс ацентра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной сверху y = f(x) снизу осью OX, слева x=a,

(1)

Применительно к рассматриваемой задаче, формулу (1) запишем в виде

(2)

где x_c = ¾ по условию. На основании (2) имеем интегральное уравнение

(3)

Продифференцировав уравнение (3) по переменному верхнему пределу, получим

Продифференцируем полученное выражение вторично:

(4)

Таким образом получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, удовлетворяющее условиям задачи. Проинтегрируем уравнение (4)

откуда y = c*x² , где с – произвольная постоянная. Следовательно, условию задачи удовлетворяет семейство парабол, проходящих через начало координат.

2. Уравнения первого порядка (определение типа уравнения и его интегрирование)

Задача 3. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

Y'+y*cosx = limx * cosx , удовлетворяющее начальным условиям

Решение: Это линейное дифференциальное уравнение первого поряд­ка, так как искомая функция и её производная входят в уравнение в первой степени и не перемножаются, т.е. уравнение можно представить в виде y'+p(x)y=Q(x).

Линейное уравнение можно интегрировать или способом вариации произвольной постоянной, или подстановкой Бернулли. Расcмотрим каж­дый из них.

Способ вариации произвольной постоянной.

Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения, соответствующее данному неоднородному: . В этом yравнении переменные разделяются:

Интегрируя, получим или

Мы нашли общее решение линейного однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в том же виде, в каком мы получили общее решение соответствующего линейного уравнения, только производную С будем считать функцией от x (применим вариации посто­янной), т.е. будем искать решение неоднородного уравнения в виде.

Y=cosl^-sinx. Дифференцируя левую и праву части, получим:

. Полученные значения y и y' подставляем в заданное уравнение будем иметь:

Отсюда получаем:

Интегрируем:

Интеграл в первой части берем по частям:

Следовательно,

Таким образом, если , то функция является общим решениям данного неоднородного линейного дифференциаль­ного уравнения. Значит, общее решение данного уравнения будет

или

Найдем теперь искомое частное решение. Подставляя э полученное общее решение начальные условия у =0 при x=0, будем иметь.

или

Частное решение имеет вид