1. Сеть представляет собой совокупность узлов и дуг.

Исходная сеть состоит из узлов, 1-ый узел называется исток (S), конечный узел называется сток(t)

Дуги могут иметь цифровое обозначение по начальному и конечному узлу K_(ij). По дугам, указанно направлеие стрелками, протекает некоторый поток, величина потока указывается в иконке.

С_к – пропускная способность, это максимальное количество потока, которое может пройти по данной дуге. Кроме пропускной способности, дуги характеризуются ещё двумя параметрами

F_k – минимальное значение потока, который может протекать по дуге.

C_k- нижняя граница, f_k >=C_k C_k>=0

Параметры дуг обозначаются в круглых скобках (f_k,C_k,h_k) или (C_k, C_k, h_k), если С_k не знадно, то принимают =0

Для каждго узла сети задаются значения потоков, которые по условиям задачи должны входить в узел и покидать его, а так же поток, который входит в сеть, то есть в узел S(исток) и поток который поеидает сеть, оесть выходит из t(сток)

h_k(h_(ij))-стоимость передачи единицы потока по дуге, Если поток входит B_si>0, если выходит B_si<0

[b_i ,b_si ,h_si ]-параметры узла в квадратных скобках, i-номер узла, bi-фиксированный внешний поток в узле i; bsi-свободный внешний поток в узле i; hsi-стоимость передачи единицы свободного анешнего потока, в узле I;

2. Теорема Форда — Фалкерсо́на — теорема о максимальном потоке: величина максимального потока не превышает величины минимального разреза.

3. Поток в сети - не отрицательная вещественная функция удовлетворяющая условиям сохроняемости и ограниченности. Дуги могут иметь цифровое обозначение по начальному и конечному узлу K_(ij). По дугам, указанно направлеие стрелками, протекает некоторый поток, величина потока указывается в иконке.

С_к – пропускная способность, то максимальное количество потока, которое может пройти по данной дуге. Кроме пропускной способности, дуги характеризуются ещё двумя параметрами

F_k – минимальное значение потока, который может протекать по дуге.

C_k- нижняя граница, f_k >=C_k C_k>=0

Параметры дуг обозначаются в круглых скобках (f_k,C_k,h_k) или (C_k, C_k, h_k), если С_k не знадно, то принимают =0

Для каждго узла сети задаются значения потоков, которые по условиям задачи должны входить в узел и покидать его, а так же поток, который входит в сеть, то есть в узел S(исток) и поток который поеидает сеть, оесть выходит из t(сток)

h_k(h_(ij))-стоимость передачи единицы потока по дуге, Если поток входит B_si>0, если выходит B_si<0

[b_i ,b_si ,h_si ]-параметры узла в квадратных скобках, i-номер узла, bi-фиксированный внешний поток в узле i; bsi-свободный внешний поток в узле i; hsi-стоимость передачи единицы свободного анешнего потока, в узле I;

4. Алгоритм Дийкстры

Решение алгоритма проводится до тех пор пока все узлы не будут включены в список начальных узлов. Это условие окончания алгоритма. Каждый цикл проходящий по альгоритму называется итерацией. Количество итераций не болие n-1, n-число узлов

1 шаг. На рисунке исходной сети около узла S записываем потенциал равный нулю. Около всех остальных узлов записываем потенциал R Формируем список начальных узлов. Количество итераций n-1(в списке начальных узлов)

2 шаг Первая итерация. Производим пересчёт потенциалов узлов связанных с источником. Поэтому в список начальных узлов заносим узел 1(всегда в 1-ый начальный узел попадает исток).

2.1 шаг П2=П1+h12=0+2=2<[R] поэтому меняем потенциаль 2-ого узла с R на 2.

П3=П1+h13=0+2=2<[R] П4=П1+h14=0+3=3<[R] Т.к в сну включены не все узлы выбираем начальный узел 3.1 для этого сравниваем потенциалы в 1 итерации П2=2; П3=2; П4=3 Выбираем узел с начальным потенциалом. Если 2 узла имеют одинаковый потенциал, то выбирают узел с наименьшим порядковым номером. Заносим его в сну и возвращаемся по алгоритму к шагу 2. Для узлов которые уже внесены в СНУ потенциал больше не пересчитывается, т. Е. по узлу 2 не считаем П5=П3+h35=2+3=5<[R]=>[5]

После того как все узлы включены в СНУ расчёт закончен!

5. Дуги могут иметь цифровое обозначение по начальному и конечному узлу K_(ij). По дугам, указанно направлеие стрелками, протекает некоторый поток, величина потока указывается в иконке.

С_к – пропускная способность, это максимальное количество потока, которое может пройти по данной дуге. Кроме пропускной способности, дуги характеризуются ещё двумя параметрами

F_k – минимальное значение потока, который может протекать по дуге.

C_k- нижняя граница, f_k >=C_k C_k>=0

Параметры дуг обозначаются в круглых скобках (f_k,C_k,h_k) или (C_k, C_k, h_k), если С_k не знадно, то принимают =0

h_k(h_(ij))-стоимость передачи единицы потока по дуге

6. Стандартная задача о потоке минимальной стоимости (СЗПМС). Исходная сеть с множеством узлов и множеством дуг, по которым могут протекать потоки продукта. Требуется передать по сети поток минимальной стоимости и найти этот поток. Учитывается одновременно Ск дуги и hk.

Прямая задача линейного программирования СЗПМС. Целевая функция:

При ограничениях учитывают : условия сохр. Потока

Ограничение пропускной способности Fij<=Cij (I,j)€М

Усолвие неотриц потока Fij≥0 (I,j)€M

n-число узлов; i-номер начального узла дуги, j-номер конечного узла дуги;

Fij-поток входящий в узел i по дуге Li; Bi- фиксированный внешний поток в узле i;

7. Для каждого узла сети задаются значения потоков, которые по условиям задачи должны входить в узел и покидать его, а так же поток который входит в сеть то есть в узел (S - исток) и поток который покидает сеть то есть выходит из стока. [bi, bsi, hsi] bi – фиксированный внешний поток в узле; bsi – свободный внешний поток в узле; hsi – стоимость передачи единицы свободного внешнего потока в узле. Если поток входит то bsi ˃ 0, если поток выходит из узла то bsi ˂ 0. 10. Сети с нелинейными функциями дуг. Идеальное состояние стоимости потока линейное. В жизни чаще всего встречаются нелинейные стоимости дуг. Это выпуклые и вогнутые стоимости. Если участок прямой выше, то участок выпуклый. Для решения данного вида функции можно применить кусочно-линейнуюапраксимацию (приближение). Выпуклый участок можно составить из отдельных линейных участков. h1˂ h2˂ h2. Поскольку функция не линейная можем дугу заменить на 3 дуги. Поскольку h1˂ h2 то поток пойдет сначала по первой дуге пока его значение не достигнетU1. Затем поток пойдет по дуге 2 пока его значение не достигнетU2, а затем по дуге 3 до достижения значения потока U3. Рассмотрим 2ой участок – вогнутый участок функции стоимости потока по дуге. Такую функцию нельзя свести к линейной задаче так как h1 ˃h2 ˃h3. Поток приходится отправлять по дуге с большей стоимостью и для решения задач вогнутой функции используются процедуры, например целочисленное исчисление. Рассмотрим пример нелинейной функции. Пусть на некоторой дуге задана пропускная способность 10 единиц, а функция hk(fk) = 2fk + 3(fk*fk). Используя не более 3х дуг с линейными функциями стоимости необходимо построить кусочно-линейнуюапраксимацию нелинейной функции стоимости указанной на дуге. f0 h(f) арокси мация Δ 1 5 11 6 2 16 22 6 3 33 33 0 4 56 62 6 5 85 91 6 6 120 120 0 7 161 170 9 8 208 220 12 9 261 270 9 10 320 320 0 =54 h1 = tgα1 = 33/(3-0) = 11 h2 = tgα2 = (120-33)/(6-3) = 29 h3 = tgα3 = (320-120)/(10-6) = 50 Полученная сумма представляет собой погрешность построения, которую необходимо минимизировать и поскольку задача решить функцию с использование не более 3х дуг, считаем что погрешность допустима.	8. Двойственная задача линейного программирования. πj = πi + hij + δij; πi – πj + δij ≥ hij. πi – потенциал начального узла πj – потенциал конечного узла Cij – пропускная способность дуги δij – переменная индикатор, указывающая на принадлежность дуги ij к min разрезу при max потоке в сети. При этом min разрез образуют насыщенные дуги, в которых поток равен Ck. Целевая функция ДЗЛП minP = ∑πibi + ∑δkCk; πi – πj + δij ≥ hij, k = 1,n. πi – не ограниченны, при этом i = 1, n – 1. δk ≥ 0. 55. Календарное планирование. Задача о порядке передачи сообщений по одному каналу связи. В задачах календарного планирования или теории расписаний решается вопрос об оптимальной последовательности тех или иных операции. В информационной системе это чаще всего относится, к порядку передачи сообщений различной длительности по каналам связи или к порядку поступления задач с различным временем решения на процессор. Задачи календарного планирования сводятся к задачам целочисленного программирования. По каналам связи необходимо передать n – сообщений. t1, t2, t3…tn – длительность сообщений. Общее время передачи сообщений то есть занятости канала будет одним и тем же при любой последовательности их передачи. ∑ti – общее время передачи всех сообщений. Однако, различным остаетсясреднее время ожидания передачи для одного сообщения tср. ож., а так же среднее время пребывания одного сообщения в системе tср пр. Эти величины разумно принять в качестве критерия оптимальности. Пусть требуется передать 3 сообщения. J1, J2, J3 – 4 мин, 3 мин, 1 мин соответственно. 1ое расп. (J1, J2, J3) 2ое расп. (J1, J3, J3) 3ее расп. (J2, J1, J3) 4ее расп. (J2, J3, J1) 5ее расп. (J3, J1, J2) 6ее расп. (J3, J2, J1) Определить среднее время ожидания пребывания сообщений в системе. Рассмотрим два расписания 1е и 6е. tср ож 1р = (0+4+7)/3 = 3 2/3мин tср ож 1р = (4+7+8)/3 = 6 1/3мин tср ож 6р = (0+1+4)/3 = 1 2/3мин tср ож 6р = (1+4+8)/3 = 4 1/3мин Передача сообщений должна производиться начиная с того сообщения, для которого длительность передачи min, а затем в порядке возрастания этой величины. Желая сократить время пребывания в очереди сначала пропускаем посетителей требующих для решения их вопроса меньшее время.		9. УСП ориентируется на внешние потоки. Полный поток выходящий из узла минус поток входящий в узел равен фиксированному внешнему потоку в данном узле. ∑fк –∑ fк = bi Запишем набор условий сохранения потока в узлах, в виде системы ограничений, используя рисунок сети со свободным узлом. В сети 8 дуг и 5 узлов, значит описываем все узлы кроме свободного узла. 1 2 3 4 5 6 7 8 bi 1 узел +f1 +f2 -f7 [3] 2 узел -f1 +f3 +f4 -f6 [0] 3 узел -f2 -f3 +f5 +f8 [0] 4 узел -f4 -f5 [-3] fi – это некоторая переменная, которую необходимо найти для минимальной стоимости. Дуги, которые связаны со свободным узлом называются свободными дугами. В данном примере дуги 6, 7, 8, являются свободными. УСП выполняется. 11. УСП ориентируется на внешние потоки. Полный поток выходящий из узла минус поток входящий в узел равен фиксированному внешнему потоку в данном узле. ∑fк –∑ fк = bi Запишем набор условий сохранения потока в узлах, в виде системы ограничений, используя рисунок сети со свободным узлом. В сети 8 дуг и 5 узлов, значит описываем все узлы кроме свободного узла. 1 2 3 4 5 6 7 8 bi 1 узел +f1 +f2 -f7 [3] 2 узел -f1 +f3 +f4 -f6 [0] 3 узел -f2 -f3 +f5 +f8 [0] 4 узел -f4 -f5 [-3] fi – это некоторая переменная, которую необходимо найти для минимальной стоимости. Дуги, которые связаны со свободным узлом называются свободными дугами. В данном примере дуги 6, 7, 8, являются свободными. Для обеспечения вычислений можно сформулировать матрицу коэффициентов с записью условий сохранения потока. Коэффициенты в матрице имеют значение “ + ” для выходящего потока по дуге из узла; значение “ – ” для входящего потока по дуге в узел. А= 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 1 1 0 -1 0 0 0 -1 -1 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 ∑= 0 0 0 0 0 -1 -1 1 Проверим УСП. По дугам 1,2,3,4,5 сумма коэффициентов равна 0, что свидетельствует о соблюдении условий сохранения потока. По дугам 6,7,8 сумма коэффициентов не равна 0, УСП не соблюдается и дуги 6,7,8 – свободные дуги. Вектор потоков f = [f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8]′. Вектор-столбец фиксированного внешнего потока b = [b1,b2,b3,b4,b5]′. Векторная запись УСП: Af = b. Для допустимого вектора потока выполняется УСП во всех узлах сети за исключением свободного узла.
12. Постановка прямой задачи об однопродуктовом потоке, сформулируем в виде уравнения. H = ∑hkfk. при ограничениях УСП ∑fk - ∑fi = bi; i=1,n-1. Ограничения пропускной способности дуги fk ≤ Ck, k = 1,m; fk ≥ 0; m – свободный узел. В задачах линейного программирования принято потенциал источника принимать равным 0. π1 = 0, [0].потенциалы остальных узлов неограниченны и обозначаются [R]. n – число узлов. В прямой задаче необходимо минимизировать общее состояние пройденное потоком величины n – 1 единиц для всех узлов сети, где i ϵ T…S. Причем в каждом из n – 1 узлов требуется одна единица потока. Суммарная стоимость образования кротчайших путей есть целевая функция Н. H = 2f1 + 2f2 + 3f3 + 5f4 + 4f5 + 3f6 + f7 + 0f8 →min. Прямую задачу можно решить симплексным методом вручную. С = 8!/(2!*5!) = 28раз. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 +f1 +f2 +f3 =4 2 -f1 +f4 -f5 =-1 3 -f2 +f5 +f6 -f7 =-1 4 -f3 +f7 +f8 =-1 5 -f4 -f6 -f8 =-1 0 0 0 0 0 0 0 0 =0 bi = n – 1 = 5 – 1= 4. Во всех остальных узлах фиксированный внешний поток равен -1, так как передаем одну единицу потока от источника в очередной узел. УСП выполняется, так как сумма равна 0.

22. Формулировка прямой задачи линейного программирования об однопродуктовом потоке минимальной стоимости.

Задана исходная сеть с множеством вершин и множеством дуг, по которым могут протекать потоки продукта.

Требуется передать по сети поток минимальной стоимости и найти этот поток, учитываются одновременно пропускная способность и стоимость передачи единицы потока ( ).

Прямая задача линейного программирования.

1. Целевая функция: , при ограничении:

1) учитывают условие сохранения потока УСП:

2) учитывают ограниченную пропускную способность:

3) учитывают условие неотрицательности потоков: , где n – число узлов в сети и номер начального узла дуги – i , а j – номер конечного узла, l – номер узла, предшествующего узлу i , - поток, входящий в узел i по дуге ij, - поток, входящий в узел i по дуге li, - фиксированный внешний поток в узле i.

23 Основные задачи линейного программирования для потоков в сети.

1. задача о кратчайшем пути (ЗКП).

2. задача о максимальном потоке (ЗМП).

3. стандартная задача о минимальном потоке (СЗПМС).

4. транспортная задача (ТЗ).

Для этих задач можно сформулировать прямую и двойственную задачи:

а) в прямой задаче мы ищем потоки по дугам;

б) в двойственной задаче ищем потенциал узлов.

2 6. Формулировка двойственной задачи линейного программирования об однопродуктовом потоке минимальной стоимости. (пример начало в билете 22)

20. Расширенные предельные сети.

Предельная сеть – сеть, состоящая из допустимых дуг.

Расширенная сеть – это сеть, имеющая количество дуг в 2 раза больше, чем в исходной сети; дуги связывают одну и ту же пару вершин, но противоположно ориентированных, а количество узлов совпадает в количеством узлов в исходной сети.

Условие допустимости для прямой дуги: прямая дуга допустима до тех пор, пока поток по ней можно увеличить ( ).

Допустимость прямой дуги в сети обозначается знаком «+».

Условие допустимости обратной дуги: обратная дуга допустима до тех пор, пока поток по ней можно уменьшить ( ). Допустимость обратной дуги обозначается на исходной сети знаком «-».

Размерность потока строго большего нуля обозначает, что поток можно уменьшить до нуля, если , то дуга перестает существовать.

25. Сущность транспортной потоковой задачи.

Транспортная задача является одной из важнейших частных задач линейного программирования. Специф. Методы ее решения проще общей задачи. Свое название она получила потому, что впервые была сформулирована и поставлена для решения вопроса о наиболее рациональном планировании перевозок на транспорте.

Название это условно, так как с ее помощью можно решать разнообразные задачи из различных отраслей производства и, необязательно связанными с перемещениями.

Однако чаще всего применяют данную задачу на автомобильном, ж/д и других видах транспорта.

Это объясняется простотой и экономическим эффектом, который дают эти задачи.

Планы перевозок, разработанные на основе алгоритма транспортной задачи, как правило, на 12-18% экономичнее планов, составленных без применения математических методов.

Классическая транспортная задача линейного программирования – это задача о наиболее экономичном плане перевозок однородных или взаимозаменяемых грузов из пунктов производства в пункты потребления; или задача об оптимальном прикреплении потребителя к поставщикам.

Транспортная задача записывается в следующем виде:

1. имеется m поставщиков определенного вида продукции, максимальные объемы возможных поставок заданы и равны a_i, где i=1,2,3,…m – эта продукция используется n потребителями.

Объемы потребностей заданы и равны: . Стоимость перевозки единицы продукции от

i поставщика к j потребителю известно для всех i и j, равна .

21. Понятие эквивалентной сети в решении потоковых задач.

Преобразование исходной сети в эквивалентную:

27. Основные виды транспортировки

28. Понятие минимального разреза.

29. Способ решение сети с вогнутой функцией стоимости дуги.

30. Функциональные области логистики.

Логистика бывает:

«Таможенная логистика», «Страховая логистика», «Транспортная логистика», «Складская логистика», «Информационная логистика»

Объектом логистики является сквозной материальный поток, тем не менее, на отдельных участках управление им имеет известную специфику. В соответствии с этой спецификой выделяют пять функциональных областей логистики: закупочную, производственную, распределительную, транспортную и информационную.

1. В процессе обеспечения предприятия сырьем и материалами решаются задачи закупочной логистики. На этом этапе изучаются и выбираются поставщики, заключаются договоры и контролируется их исполнение, принимаются меры в случае нарушения условий поставки.

2. В процессе управления материальным потоком внутри предприятия, создающего материальные блага или оказывающего материальные услуги, в основном решаются задачи производственной логистики. Специфика этого этапа заключается в том, что основной объем работ по проведению потока выполняется в пределах территории одного предприятия. Участники логистического процесса при этом, как правило, не вступают в товарно-денежные отношения. Поток идет не в результате заключенных договоров, а в результате решений, принимаемых системой управления предприятием.

3.При управлении материальными потоками в процессе реализации готовой продукции решаются задачи распределительной логистики. Это обширный круг задач, решением которых занимаются как производственные предприятия, так и предприятия, осуществляющие торгово-посредническую деятельность. К решению этих задач имеют отношение властные структуры, так как от организа­ции распределения существенно зависит состояние экономики региона.

4. При управлении материальными потоками на транспортных участках решаются специфические задачи транспортной логистики. Совокупный объем транспортной работы, выполняемой в процессе доведения материального потока от первичного источника сырья до конечного потребителя.

5. Информационная логистика. Результаты движения материальных потоков находятся в прямой связи с рациональностью организации движения информационных потоков