Вопрос2

Ортогональное дополнение мн-ва.теорема о разлож.унит.пр-ва в прямую сумму подпр-ва.

Def: Два подпространства и унитарного (евклидова) пространства называется ортогональными , если : или

Lem 1: Если , то {θ}

Док-во: Пусть , т.е. и , т.к. , то θ #

Пусть ─ подпространство пространства ( или ). #

Def: Ортогональн доп-ем подпр-ва пр-ва наз-ся множ-во всех векторов, ортогональных подпр-ву ,т.е. =

Пример: V-пространство всех геометрических (свободных) векторов

-подпространство всех векторов параллельных некоторой плоскости

─ подпространство всех векторов, перпендикулярных данной плоскости.

Утв::

Ортогональное дополнение произвольного подпространства пр-ва V само является подпространством данного пространства

Док-во: В самом деле, :

#

Lem 2 (критерий): ] ─ базис в подпространстве . Вектор ; , …,

Док-во: Необходимость: Пусть , тогда в том числе .

Достаточность: Пусть , поскольку : , то #

Th:

Унитарное (евклидово) пространство есть прямая сумма произвольного подпространства и его ортогонального дополнения , т.е. (прямая сумма)

Док-во:

Пусть ── ОНБ в подпространстве .

Возьмем произвольный в-р и сопоставим следующий в-р:

имеем (скалярное умножение на ):

следовательно по Лемме 2

, т.е. : , где ,

. Но

следовательно по Лемме 1

{θ}, откуда по определению прямой суммы вытекает, что #

Следствие 1:

Док-во: Доказательство следует из теоремы 2 § 5 гл. III (Пусть V – сумма подпространств V1 и V2, тогда ) #

Вопрос1

Определение линейного оператора. Простейшие свойства. Примеры. Действия с линейными операторами и их свойства.

V – некоторое линейное пространство. L(V) – множество всех линейных операторов, действующих в пространстве V.

[О.1]: Оператором (преобразованием, отображением) линейного пространства V называется закон, по которому каждому элементу этого пространства xÎV ставится в соответствие единственный элемент из того же самого пространства yÎV. Будем обозначать операторы буквами A,B,C…

Ax=y; x-прообраз элемента y; y=Ax – образ элемента x (результат действия оператора).

[О.2]: оператор А, действующий в V, называется линейным, если выполняется следующие условия:

1) "x,yÎV: A(x+y)=Ax+Ay

2) "xÎV,"l: A(lx)=lAx

Простейшие свойства:

1° A(0)=0, где А-линейный оператор.

[Док-во]: пусть хÎV, тогда 0=0x A(0)=A(0x)=0(Ax)=0

2° Линейный оператор переводит противоположенный в противоположенный: A(-x)=-Ax

[Док-во]: "xÎV: А(-x)=A((-1)x)=(-1)Ax=-Ax

3° "x₁,…,x_kÎV, "l₁,…,l_k A(l₁x₁+…+l_kx_k)=l₁Ax₁+…+l_kAx_k.

4° Если система векторов x₁,…,x_k линейно зависима, то система образов так же линейно зависима, т.е существуют l₁,…,l_k такие, (не все равные нулю), что l₁x₁+…+l_kx_k=0

[Док-во]: A(l₁x₁+…+l_kx_k)=A0=0=> l₁Ax₁+…+l_kAx_k=0 => т.к. |l₁|+…+|l_k|¹0 Ax₁+…+Ax_k линейно зависимы.

[О.3]: пусть А и В линейные операторы в V 1) A=B (A равен В), если "xÎV:Ax=Bx 2) Оператор I называется тождественным (или единичным), если "xÎV: Ix=x

3) O–нулевой оператор, если "хÎV: Ox=0.

Действия с линейными операторами.

[О.4]: 1) Суммой линейных операторов A,BÎL(V) называется оператор A+B, такой, что "хÎV: (А+В)х=Ах+Вх. 2) Произведением оператора А на l называется оператор lА, такой, что "хÎV: (lА)x=l(Аx)

[Теорема]: Множество L(V) является линейным пространством.

[Док-во]:

а)"x,yÎV:

(A+B)(x+y)=A(x+y)+B(x+y)=Ax+Ay+By+Bx=(Ax+Bx)+(Ay+By)=(A+B)x+(A+B)y.

б) "l: (A+B)(lx)=A(lx)+B(lx)=l(Ax+Bx)=l(A+B)x => L(V) – линейное пространство.

[О.5]: Произведением линейных оператором А,ВÎL(V) называется оператор АВ, такой, что "xÎV: (AB)x=A(Bx).

[Теорема]: Если A,BÎL(V), то (AB)ÎL(V)

[Док-во]: а)"x,yÎV AB(x+y)=A(B(x+y))=A(Bx+By)=A(Bx)+A(By)=(AB)x+(AB)y

б) "l: (AB)(lx)=A(Blx)=A(lBx)=l(A(Bx))=l(AB)x=>AB – линейный оператор.

Свойства:

1° (AB)C=A(BC)

[Док-во]: "XÎV ((AB)C)x=(AB)(Cx)=(A(B(Cx)))=A((BC)x)=(A(BC))x=>(AB)C=A(BC)

2° A(B+C)=AB+AC

[Док-во]: (A(B+C))x=A((B+C)x)=A(Bx+Cx)=A(Bx)+A(Cx)=(AB)x+(AC)x=(AB+AC)x=>A(B+C)= AB+AC.

3° (B+C)A=BA+CA

4° (lA)B=A(lB)=l(AB)

5° A0=0 6° AI=IA=A

Определение 9. Ядром линейного оператора называется множество всех векторов . Ядро оператора A будем обозначать Ker A. . Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра. Дефект оператора будем обозначать Def A = dim Ker A

Образом линейного оператора называется множество всех векторов , таких что найдется (то есть все множество образов) . Образ оператора A будем обозначать Im A . .

Рангом линейного оператора называется размерность его образа .

Вопрос2 Обратный оператор для данного линейного оператора и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора. Матрица обратного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов.

Пусть V-линейное пространство, AÎL(V).

[О.1]: Множество всех векторов хÎV таких, что Ax=0, называется ядром оператора А: kerA=det{xÎV, Ax=0}. Множество всех векторов yÎV таких, что найдётся xÎV; y=Ax, называется образом оператора А, т.е. образ оператора А- это все элементы V такие, что ImA={yÎV:$xÎV, y=Ax}

[Теорема]: Ядро и образ линейного оператора AÎL(V) являются подпространством линейного пространства V.

[О.2]: Пусть V-линейное пространство и VÎL(V). Оператор А называется обратимым, если существует оператор В такой, что АВ=ВА=I. Если А-обратим, то A-1=B называют обратным к А.

Свойства обратного оператора:

1° Если у А существует обратный оператор, то он линейный.

[Док-во]: а)А^-1(х+у)=А^-1(Ix+Iy)=A^-1((AA^-1)x+(AA^-1)y)=A^-1(A(A^-1x)+A(A^-1)y))=A^-1(A(A^-1x+A^-1y))=(A^-1A)(A^-1x+A^-1y)=A^-1x+A^-1y

б) A^-1(lx)=A^-1(l(AA^-1)x)=A^-1(lA(A^-1x))=A^-1(A(lA^-1x))=lA^-1x=>A^-1ÎL(V)

2° Если у А существует обратный оператор, то он единственный.

[Док-во]: Пусть существует B: AB=BA=I. A^-1=A^-1I=A^-1(AB)=(A^-1A)B=IB=B

3° Если оператор обратим, то его ядро равно нулевому элементу.

[Док-во]: Пусть хÎkerA: х=Ix=(A^-1A)x=A^-1(Ax)=A^-1(0)=0

4° Если оператор обратим, то образ оператора тождественен V.

[Док-во]: "yÎV: y=Iy=(AA^-1)y=A(A^-1y)=AxÎImA. A^-1y=x

[Теорема]: Критерий обратимости. AÎL(V_n) обратим тогда и только тогда, когда он невырожденный (т.е. detA¹

[Док-во]: 1) Пусть А-обратим, тогда существует A^-1ÎL(V_n) АA^-1=A^-1А=I. Зафиксируем базис [e]= (e₁,…,e_n) в V_n. [e]: A<->A_e, A^-1<->(A^-1)_e, J<->E – единичная матрица. т.к. АA^-1= A^-1А=I, то A_e(A^-1)_e=(A^-1)_eA_e=E=>detA_e¹0, т.е. А-невырожденный => (A^-1)_e=A_e^-1 2)Пусть detA¹0, тогда [e]: A<->A_e detA=detA_e¹0=>матрица имеет обратную A_e^-1. В базисе [e] существует BÎL(V_n): B_e=A_e^-1. A_eA_e^-1= A_e^-1A_e=E <-> AB=BA=J=>оператор B обратим к оператору А В=A^-1;B_e=A_e^-1.