Вопрос1Евклидовы пространства. Определения и примеры.
Определение
1.
Действительное линейное пространство
V называется евклидовым, если любой
упорядоченной паре элементов (x, y) из
V поставлено в соответствие число,
называемое скалярным произведением
этих элементов, причем выполняются
следующие условия
1)(x,y)= (y, x)
2)(x+y, z)= (x,z) + (y, z)
3)( λ x,y) = λ (x,y)
4)для
Простейшие свойства
1
)
2)(x, y+z)= (x, y) + (x, z)
3)
Скалярное произведение является симметричной билинейной формой, причем порожденная ее квадратичная форма положительно определена.
Будем обозначать Ε - евклидово пространство. Поскольку Ε евклидово пространство является линейным пространством, то для него определены понятия размерности и базиса и справедливы все теоремы линейных пространств. Но скалярное произведение позволяет ввести много новых понятий и свойств.
Норма вектора. Неравенство Коши – Буняковского
Определение
2.
Пусть x
Ε
. Величина
называется нормой элемента x.
Свойства:
1)||x|| = 0 < = > x = 0
1)|| λ x || = |λ | ||x||
Неравенство
Коши
– Буняковского
для
Док-во: Пусть t R, тогда для любых x, y E
.
Квадратный трехчлен относительно
переменной t принимает только
неотрицательные значения. Следовательно,
дискриминант уравнения не может быть
положительным.
.
Отсюда получаем
.
неравенство треугольника. || x + y || <= ||x || + ||y ||
Док-во:
Определение
3.
Угол 
,
косинус которого
,
называется углом между векторами x, y,
при условии что
.
Ортогональные системы векторов.
Определение 4. Векторы x , y из евклидова пространства E называются ортогональными, если
(x, y) = 0
Определение 5. Система векторов e1 , e2….em - евклидова пространства называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.
Теорема 1. Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
Док-во: Пусть x1, x2, … xm - ортогональная система ненулевых векторов, те
( xi, xj) = 0 при i ≠ j , и (xi, xj) ≠ 0 при i = j.
Докажем, что x1, x2, … xm -линейно независима.
Допустим, что λ1 x1 + λ2 x2 +…+ λm xm = 0. Умножим обе части на xk (k= 1, … m). Получим
λ1 (x1 xk) + λ2 (x2 xk) +…+ λm (xm xk) = 0. Отсюда λk (xk xk) = 0. Так как (xk xk) ≠ 0 , то λk = 0, так как k= 1, … m, то все λk = 0, те система x1, x2, … xm - линейно независима.
Определение 6. Система векторов e1 , e2….em евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.
Из Теоремы 1 следует, что любая ортонормированная система ненулевых векторов линейно независима.
Определение 7. Пусть E - евклидово пространство. Упорядоченная система векторов e1 , e2….em - называется ортонормированным базисом, если 1) система e1 , e2….em – ортонормированна,
2) и векторы e1 , e2….em образуют базис.
Теорема 2 о существовании ОНБ. Метод ортогонализации Шмидта.
Пусть En n - мерное евклидово пространство, тогда в En существует ортонормированный базис.
Док-во: Доказательство проведем индукцией по n - размерности пространства.
1) Пусть n = 1 . В пространстве E1 существует базис f1 . Положим e1 = f1 / (f1 f1).
e1- ортонормированный базис E1
2) Предположим, что в любом n -1- мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Докажем утверждение для n- мерного евклидового пространства En. Линейная оболочка векторов f1 fn-1 будет являться n -1- мерным евклидовым пространством, по предположению индукции в L(f1 fn-1) существует ортонормированный базис из n -1 вектора e1 , e2…. en-1.
Рассмотрим вектор gn=fn + α1 e1 +..+ αn-1 en-1
Коэффициенты αi выберем так, чтобы вектор gn был ортогонален векторам e1 , e2, en-1, т.е. (gn,ek) =0 k= 1, .. n-1.
(gn,ek) =0 = (fn ,ek) + α1 ( e1 ,ek) +..+ αn-1 ( en-1,ek) = (fn ,ek) + αk ( ek ,ek) = (fn ,ek) + αk
αk = - (fn ,ek) k= 1, .. n-1.
gn = fn - (fn ,e1) e1 -..- (fn ,en-1) en-1
Заметим, что вектор gn - ненулевой, в противном случае fn = - α1 e1 -..- αn-1 en-1 , те принадлежит L(f1 fn-1 ) , чего быть не может.
Так как gn ≠ 0
Положим en = gn /(gn gn) , тогда |en| = 1 и en ортогонален e1 , e2, en-1. Итак, e1 , e2, en - ортонормированный базис в En.
Указанный метод называется метод ортогонализации Шмидта. Этот метод применяется для нахождения ортонормированного базиса e1 , e2….em в линейной оболочке L=L(f1, fm) , а также для нахождения ортогональной составляющей и ортогональной проекции вектора f на L=L(f1, fm)