Вопрос4

фото

Вопрос5

Определение линейного подпространства. Свойства линейного подпространства. Примеры.

[О.1]: Непустое подмножество L линейного пространства V называется линейным подространством пространства V, если оно удовлетворяет двум условиям: 1) для любого x,yÎL: (x+y)ÎL; 2) для любого l и для любого хÎL: (lх)ÎL

Свойства линейных подпространств.

1° Линейное подпространство L пространства V само является линейным пространством.

[Док-во]: Для этого нужно убедиться в справедливости для элементов подмножества L аксиом 1°-8° из определения линейного пространства. Все аксиомы, кроме 3° и 4° справедливы для подмножества всех элементов пространства V. Пусть х – любой элемент L, а l-любое число, тогда в силу условия 2 элемент lх так-же принадлежит L. при l=0 0х=0 – нулевой элемент, который принадлежит L, т.е. существует 0ÎL, а при l=-1 lх превращается в противоположный для х элемент. для любого х £dimV=n

L (-1)х=-1ÎL => аксиомы 3° и 4° справедливы для L.

2° Если L – линейное подпространство пространства V, и размерность dimV=n, то L-конечномерное пространство и dimL£dimV=n

[Док-во]: Любая линейно независимая система из к элементов подпространства LÎV является одновременно линейно независимой системой элементов всего пространства V => dimL£dimV=n

3° Пусть L- линейное подпространство пространства V и dimV=n, dimL=n => L=V (т.е. они совпадают).

[Док-во]: Поскольку всякий базис подпространства L состоит из n элементов (dimL=n), то он является базисом и всего пространства V, т.к. dimV=n (любые n линейно независимых элементов образуют его базис) => для любого хÎV х=_i=1å^na_ie_i, т.е. элемент х выражается через базис подпространства L => VÌL => L=V

. Определение линейной оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.

[О.1]: Пусть x₁,…,x_n – некоторая система элементов из пространства V. Рассмотрим множество всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество {a₁x₁+…+a_kx_k}. Это множество называется линейной оболочкой системы элементов x₁,…,x_n и обозначается L – множество всех линейных комбинаций этих элементов {_i=1å^ka_ix_i}

[Теорема]: Пусть x₁,…,x_kÎV. Тогда L{x₁,…,x_k} – линейная оболочка – наименьшее подпространство пространств, содержащих элементы x₁,…,x_k.

[Док-во]: 1) Докажем, что L(x₁,…,x_k)-подпространство. Пусть y₁,y_2ÎL. Тогда y₁= _i=1å^ka_Ix_i; y₂= _i=1å^kb_ix_i. y₁+y₂= _i=1å^ka_ix_i+_i=1å^kb_ix_i= _i=1å^k(a_i+b_i)x_iÎL; ly₁=l*_i=1å^ka_ix_i=_i=1å^k(a_il)x_iÎL.

2) Докажем, что это наименьшее линейное подпространство. Пусть L – подпространство V,

х₁,…,x_kÎL, т.к. L- подпространство, то для любых a₁,…,a_k a₁x₁+a₂x₂+…+a_kx_kÎL => L(х₁,…,x_k) £ L => линейная оболочка – наименьшее линейное подпространство, содержащее эти вектора (х₁,…,x_k).

[Теорема]: Размерность линейной оболочки L(х₁,…,x_k) векторов x₁,…,x_kÎV равна максимальному числу линейно независимых векторов в системе x₁,…,x_n.

[Док-во]: Допустим, что среди элементов линейной оболочки найдутся n линейно независимых элементов (x₁,…,x_n), а любые (n+1) элементов линейно зависимы. Тогда каждый из элементов этой оболочки представляет собой некоторую комбинацию элементов x₁,…,x_n, и поскольку по определению каждый элемент линейной оболочки L представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов оболочки, то каждый элемент оболочки – некоторая комбинация одних только элементов x₁,x₂,…,x_n => x₁,x₂,…,x_n – базис линейной оболочки L и dimL=n.

. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. Теорема о разложении пространства в прямую сумму подпространств.

Пусть L₁ и L₂ – линейные подпространства пространства V.

[О.1]: Пересечением подпространств L₁ и L₂ называется множество элементов, принадлежащих одновременно L₁ и L₂. Суммой L₁+L₂ подпространств L₁ и L₂ называется множество всех элементов V, представимых в виде x₁+x₂, где x₁ принадлежит L₁, x₂ принадлежит L₂.

[Теорема]: Сумма (L₁+L₂) и пересечение (L₁ Ç L₂) двух подпространств L₁ и L₂ пространства V являются подпространствами пространства V.

[Док-во]: 1) L₁+L₂. Пусть y₁+y₂ Î(L₁+L₂) <=> y₁=x₁+x₂, y₂=x’₁+x’₂, где (x₁,x’₁)ÎL₁, (x₂,x’₂)ÎL₂. y₁+y₂=(x₁+x₂)+(x’₁+x’₂)=(x₁+x’₁)+(x₂+x’₂), где (x₁+x’₁)ÎL₁, (x₂+x’₂)ÎL₂ => первое условие линейного подпространства выполняется. ly₁=lx₁+lx₂, где (lх₁)ÎL₁, (lх₂)ÎL₂=> т.к. (y₁+y₂)Î(L₁+L₂)_, (ly₁)Î(L₁+L₂) => условия выполняются => L₁+L₂ – линейное подпространство.

2) L₁ Ç L₂. Пусть (y₁,y₂)Î(L_1ÇL₂) <=> (y₁,y₂)ÎL₁, (y₁,y₂)ÎL₂. (y₁+y₂)ÎL₁, (y₁+y₂)ÎL₂, т.к L₁ и L₂ – линейные подпространства => (y₁+y₂)Î(L₁+L₂).

(ly₁)ÎL₁, (ly₁)ÎL₂, т.к. L₁ и L₂ – подпространства => (ly₁)Î(L_1ÇL₂)=> L_1ÇL₂ – линейное подпространство.

[О.2]: Линейное подпространство L пространства V называется прямой суммой подпространств L₁ и L₂, если выполняются два условия: 1) для любого хÎL: х=х₁+х₂, где х_1ÎL₁, х_2ÎL₂. 2) это представление единственно.

Обозначение: L=L_1ÅL₂

[Теорема]: Подпространство L явялестя прямой суммой подпространств L₁ и L₂ тогда и только тогда, когда: 1) L=L₁+L₂­; 2)L_1ÇL₂={0}.

[Док-во]: а) Необходимость. 1) L=L_1ÅL₂, тогда для любого хÎL: х=х₁+х₂, где х_1ÎL₁, х_2ÎL₂, т.е. L=L₁+L₂. 2) Рассмотрим подпространство L_1ÇL₂ Пусть хÎ L_1ÇL₂, тогда (-x)Î(L_1ÇL₂), т.к. L₁ и L₂ – подпространства. 0=x+(-x). т.к. это представление единственно, то 0 = 0+0 => (L_1ÇL₂)={0}

б) Достаточность. 1) L=L₁+L₂­; 2) L_1ÇL₂={0}=> L=L_1ÅL₂, т.к. L =L₁+L₂, то для любого хÎL, x=x₁+x₂, где х_1ÎL₁, х_2ÎL₂. Допустим, что существуют х’_1ÎL₁, х’_2ÎL₂, такие, что x=x’₁+x’₂, тогда x=x₁+x₂= x’₁+x’₂, откуда x₁-x’₁=x’₂-x₂. т.к. (x₁,x’₁)ÎL₁, то (x₁-x’₁)ÎL₁; (x₂,x’₂)ÎL_2, то (x₂-x’₂)ÎL₂ => x₁-x’₁= (x₂-x’₂)Î(L_1ÇL₂)={0}, т.е. x₁-x’₁=0, x’₂-x₂=0 => x₁=x’₁, x₂=x’₂, т.е. каждый элемент представим единственным образом.