Вопрос2

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости, достаточный условия линейной зависимости.

Рассмотрим произвольное действительное линейное пространство V с элементами х1,х2,...,хn.

[О.1]: Система элементов (векторов) х1,х2,...,хn Î V называется линейно зависимой, если найдутся такие числа l1, l2,...,ln, не все равные нулю и такие, что l1x1+l2x2+…+lnxn=0. Система векторов х1,х2,...,хn Î V называют линейно независимыми, если равенство l1x1+l2x2+…+lnxn=0 возможно лишь при условии l1=l2=…=ln=0

[О.2]: Вектор xÎ V является линейной комбинацией векторов х1,х2,...,хn Î V, если найдутся такие числа b1, b2,...,bn, что x=b1x1+b2x2+…+bnxn

[Теорема]: Критерий линейной зависимости. Система векторов х1,х2,...,хn Î V линейно зависима в том и только том случае, когда хотя бы один из векторов линейно выражается через остальные.

[Док-во]: а) Необходимость. 1) Пусть х1,х2,...,хn – линейно зависимы, тогда найдутся l1, l2,...,ln (|l1|+|l2|+…+|ln|¹0) такие, что l1x1+l2x2+…+lnxn=0. Допустим, что l1¹0, тогда x1=(-l2/l1)x2+…+(-ln/l1)xn, т.е. x1 линейно выражается через остальные вектора.

2) Пусть хn линейно выражается через вектора х1,х2,...,хn-1, тогда существуют b1, b2,...,bn такие, что хn=b1x1+b2x2+…+b(n-1)x(n-1) => b1x1+b2x2+…+b(n-1)x(n-1)+(-1)xn=0. Т.к. bn=-1¹0, то векторы х1,х2,...,хn линейно зависимы.

б) Достаточность. 1) Если среди элементов х1,х2,...,хn имеется нулевой элемент 0, то эти элементы линейно зависимы. 2) Если система содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима. 3) Если система линейно независима, то любая ее подсистема линейно независима.

Вопрос3

Базис линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе, координаты суммы векторов и произведения вектора на число. Необходимое и достаточное условие линейное зависимости системы векторов.

Пусть V – действительное (комплексное) линейное пространство. Здесь и далее (e1,e2,…,en) представляется в виде строки.

[О.1]: Упорядоченная система e1,e2,…,en элементов векторов пространства V называется базисом, если выполняются два условия.

1) e1,e2,…,en линейно независимы

2) для любого xÎ V, существуют числа a1,a2,...,an такие, что xn=a1e1+a2e2+…+anen = i=1ånaiei=(e1,e2,…,en)(a1,a2,…,an). Это равенство называется разложением элемента х по базису e1,e2,…,en, а числа a1,a2,…,an – координатами элемента в этом базисе.

[Теорема]: Каждый элемент х пространства V может быть разложен по базису e1,e2,…,en единственным способом, т.е. координаты каждого элемента х относительно этого базиса определяются однозначно: x=a1e1+a2e2+…+anen

[Док-во]: Допустим, что существует другое разложение.

xn=a’1e1+a’2e2+…+a’nen;

(a1-a’1)e1+(a2-a’2)e2+…+(an-a’n)en=0, т.к. e1,e2,…,en линейно независимы, то a1-a’1=a2-a’2=…=an-a’n=0 => ai=a’i, c=1,2…n => (a1,a2,…,an)=(a’1,a’2,…,a’n)

[Теорема]: Пусть e1,e2,…,en – базис пространства V, x,y – произвольные элементы пространства V. При сложении элементов их координаты складываются, при умножении произвольного элемента х на любое число l все координаты этого элемента умножаются на l.

[Док-во]: x=a1e1+a2e2+…+anen=i=1ånaiei=(e1,e2,…,en)(a1,a2,…,an).

y=b1e1+b2e2+…+bnen=i=1ånbiei=(e1,e2,…,en)(b1,b2,…,bn).

1) x+y= i=1ånaiei+i=1ånbiei=i=1ån(aI+bI)ei=(e1,e2,…,en)(a1+b1,…,an+bn)= (a1+b1)e1+…+(an+bn)en;

2) lx=l* i=1ånaiei= i=1ånlaiei=(e1,e2,…,en)(la1,…,lan)= (la1)e1+…+(lan)en

[Лемма]: Пусть e1,e2,…,en базис в пространстве V, f1, f2,…, fn – элементы пространства V. Векторы f1, f2,…, fn линейно зависимы в том и только том случае, когда линейно зависимы столбы их координат.

[Док-во]: f1= (e1,e2,…,en)(a1,a2,…,an)

l1f1+l2f2+…+lnfn=(e1,e2,…,en)[l1(a11,a12,…,a1n)+…+ln(an1,an2,…,ann)] => вектора f1,f2,…,fn линейно зависимы в том и только том случае, когда l1(a11,a12,…,a1n)+…+ln(an1,an2,…,ann) = (0,0,…,0) а это значит, что столбцы их координат должны быть линейно зависимыми.

Размерность линейного пространства. Теорема о связи размерности и базиса.

[О.1]: Линейное пространство V называется n-мерным, если в нём существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов линейно зависимыми. n называют размерностью пространства V.

dimV=n – обозначение.

[О.2]: Пространство называют конечномерным, если в нем существует конечное число линейно независимых векторов, в противном случае пространство называется бесконечномерным.

[Теорема]: 1) Если V – n-мерное линейное пространство, то любая упорядоченная система из n линейно независимых элементов этого пространства образует его базис. 2) Если в V существует базис из n элементов, то dimV=n.

[Док-во]: 1) По определению 1 в n-мерном линейном пространстве V существует система из n линейно-независимых элементов (e₁,e₂,…,e_n) Возьмём произвольный элемент х пространства V, тогда по определению 1 система (n+1) элементов (x,e₁,e₂,…,e_n) линейно зависима => a₀х+a₁e₁+a₂e₂+…+a_ne_n=0 (|a₀|+|a₁|+…+|a_n|¹0) a_0¹0, т.к. e₁,e₂,…,e_n – линейно независимы. x=(-a₁/a₀)e₁+(-a_2a0)e₂+…+(-a_na0)e_n. Т.к. х-произвольный элемент V, то это равенство доказывает, что система e₁,e₂,…,e_n является базисом пространства V. 2) Пусть система из n элементов e₁,e₂,…,e_n является базисом пространства V. Тогда достаточно доказать, что любые (n+1) элементов этого пространства x₁,x₂,…,x_n+1 линейно зависимы (т.к. e₁,e₂,…,e_n – линейно зависимы)

(x₁=a₁₁e₁+a₁₂e₂+…+a_1ne_n; x₂=a₂₁e₁+a₂₂e₂+…+a_2ne_n;…; x_n+1=a_(n+1)1e₁+a_(n+1)2e₂+…+a_(n+1)ne_n), где a₁₁,a₂₂,…,a_(n+1)n – некоторые числа.

Очевидно, линейная зависимость элементов x₁,x₂,…,x_n+1 эквивалентна линейной зависимости строк матрицы A=||a₁₁,a₁₂,…,a_1n;…;a_(n+1)1,a_(n+1)2,…,a_(n+1)n||, но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т.к. порядок базисного минора этой матрицы (содержащей (n+1) строк и n столбцов) не превосходит n, и хотя бы одна из (n+1) её строк не является базисной и по теореме о базисном миноре (Теорема о базисном миноре: Базисные строки линейно независимы. Любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк. Аналогично и для столбцов.) представляет собой линейную комбинацию базисных (а стало быть, и всех остальных) строк.

[Сл.1]: Если в V существует базис из n элементов, то любой базис пространства состоит из n элементов.

[Сл.2]: В линейном пространстве базисов бесконечно много.

Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при изменении базиса.

dimV=n. Здесь и далее (e₁,e₂,…,e_n) и (e’₁,e’₂,…,e’_n) представляются в виде строки.

[e]=(e₁,e₂,…,e_n); [e’]=(e’₁,e’₂,…,e’_n) – базисы пространства V.

Разложим элементы е’₁,…,e’_n по базису [e]:

{e’₁=t¹₁e₁+ t²₁e₂+…+ tⁿ₁e_n;…;e’_j=t¹_je₁+ t²_je₂+…+ tⁿ_je_n;…;e’_n=t¹_ne₁+ t²_ne₂+…+ tⁿ_ne_n

e’_j=(e₁,e₂…e_n)(t¹_j;t²_j;…;tⁿ_j)

T=||t_ij||=|t¹₁,…,t¹_j,…,t¹_n;t²₁,…,t²_j,…,t²_n;…;tⁿ₁,…,tⁿ_j,…,tⁿ_n|

(e’₁,e’₂…e’_n)=(e₁,e₂…e_n)T. [e’]=[e]T

[О.1]: Матрицей перехода от базиса [e]=(e1,e2,…,en) к базису [e’]=(e’1,e’2,…,e’n) линейного пространства V называется квадратная матрица порядка n (dimV=n) в j-том столбце которой стоит столбец координат вектора e’j в базисе [e]

[Теорема]: Пусть V-n-мерное линейное пространство. Невырожденные матрицы порядка n и только они являются матрицами перехода от одного базиса к другому.

[Док-во]: 1) Пусть [e] и [e’] – базисы пространства V, Т-матрица перехода от [e] к [e’] порядка n. ([e]=(e₁,e₂…e_n), [e’]=(e’₁,e’₂…e’_n)). Т состоит из столбцов координат векторов e’_j в базисе [e] т.к. e₁,e₂,…,e_n – линейно независимы ([e]-базис), то столбцы матрицы Т тоже линейно независимы => detT¹0, что означает то, что матрица невырождена.2) Пусть Т-матрица, detT¹0 Рассмотрим вектора (e’₁,e’₂,…,e’_n)=(e₁,e₂,…,e_n)T. e’_j=( e₁,e₂,…,e_n)(t¹_j,t²_j,…,tⁿ_j) j=1,…,n – j-й столбец координат e’_j в [e]. Т.к. detT¹0, то столбцы матрицы линейно независимы => dimV=n=> векторы e₁,…,e_n образуют базисы в V.

[Сл.1]: Пусть [e] и [e’] базисы в пространстве V. Если Т-матрица перехода от [e] к [e’], то матрицей перехода от [e’] к [e] является матрица T^-1 (обратная Т).

[Док-во]: Т.к. detT¹0, то по критерию обратимости матрицы у Т существует обратная => T^-1T=E.

[e’]T^-1=([e]T)T^-1=[e](TT^-1)=[e]E. (e₁,e₂,…,e_n)=(e’₁,e’₂,…,e’_n)T^-1.

Преобразование координат вектора при изменении базиса.

x=(e₁,e₂…e_n)(a₁;a₂;…;a_n)=_i=1å^na_ie_i; x=(e’₁,e’₂…e’_n)(a’₁;a’₂;…;a’_n)=_i=1å^na’_ie’_i

Т-матрица перехода: [e’]=[e]T. x=(e₁,e₂,…,e_n)(a₁,a₂,…,a_n)=(e’₁,e’₂,…,e’_n)(a’₁,a’₂,…,a’_n)=[(e₁,e₂,…,e_n)T](a’₁,a’₂,…,a’_n)= (e₁,e₂,…,e_n)[T(a’₁,a’₂,…,a’_n)]=>(a₁,a₂,…,a_n)=T(a’₁,a’₂,…,a’_n) => (a’₁,a’₂,…,a’_n)=T^-1(a₁,a₂,…,a_n).