Вопрос5

Общее решение совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁;…;a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m (1)

RgA=RgA’ – система совместна.

[O.1]: Частным решением системы (1) называется набор чисел x₁…x_n, обращающих в тождество каждое из уравнений системы. Общим решением системы называется множество всех частных решений.

[O.2]: Система называется приведенной к данной, если вместо столбца свободных членов (b₁,…,b_m) подставить нулевой столбец.

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0;…;a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0 (1*)

[Теорема]: Общее решение совместной неоднородной системы ЛАУ представляется как сумма некоторого частного решения неоднородной системы и общего решения однородной системы ЛАУ, соответствующей данной неоднородной системе: х_он=х_чн+х_оо

[Док-во]: 1) пусть х_чн – частное решение системы (1), т.е. Ax_чн=b

пусть х_о – решение системы (1*), т.е. Ах_о=0. Покажем, что х_он=х_чн+х_о. Подставим в (1): А(х_чн+х_о)=Ах_чн+Ах_о=b+0=b 2) пусть х – общее решение неоднородной системы (1), т.е. Ах=b. х=х_чн+(х-х_чн) Покажем, что (х-х_чн) – решение системы (1*) А(х-х_чн)=Ах-Ах_чн=b-b=0 => х=х_чн+х_о.

[Сл.1]: если у неоднородной системы RgA=RgA’=r<n и х_чн – частное решение неоднородной системы, а x¹,…,x^(n-r) – ФСР однородной системы, то общее решение представляется в виде: x_он=x_чн+с₁х₁+с₂х₂ + с_(n-r)x_(n-r).

[Выводы]:1) система совместна <=> RgA=RgA’=r 2) если RgA=RgA’=r=n, то система имеет единственное решение 3) если RgA>RgA’=r<n – бесконечное число решений.

Вопрос1.

Определение линейного (векторного) пространства, действительного и комплексного. Простейшие свойства. Примеры линейных пространств.

[О.1]: Множество R элементов x,y,z,… любой природы называется линейным (или афинным) пространством, если выполняется следующее:

1. имеется правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества R ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом z=x+y

2. имеется правило, посредством которого любому элементу х множества R и любому вещественному числу l ставится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента х на число l и обозначаемый символом u=lx или u=xl

3. указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам:

1° x+y=y+x (переместительное свойство)

2° (x+y)+z = x+(y+z) (сочетательное свойство суммы)

3° существует нулевой элемент 0, такой, что x+0=x для любого элемента x.

4° для каждого элемента x существует противоположный элемент x’ такой, что x+x’=0

5° 1×x=x для любого элемента x

6° l(mx)=(lm)x (сочетательное относительно числового множителя)

7° (l+m)х =lх + lm (распределительное относительно суммы числовых множителей)

8° l(x+y)=lx+ly (распределительное относительно суммы элементов)

Элементы линейного пространства называются векторами, а само линейное пространство – абстрактным линейным пространством.

Для линейного пространства справедливы следующие простейшие свойства:

1° Единственность нулевого элемента.

[Док-во]: Пусть 01 и 02 – нулевые элементы, тогда 01+02=(3°)=01=02+01=(3°)=0­2 => 01¹02.

2° Единственность противоположного элемента.

[Док-во]: Пусть x+x’=0 и x+x’’=0, тогда x’=(3°)=x'+0=x'+(x+x'')= (2°)=(x'+x)+x''=(1°)=(x+x')+x''=0+x''=(3°)=x''.

3° Для любого x: 0*x=0.

[Док-во]: 0*x=0*x+0=0*x+(x+(-x))=(0*x+x)=(8°)=(0*x+1*x)+(-x)=(6°)=(0*x)x+(-x)=x+(-x)=0.

4° (-1)x=(-x).

[Док-во]: x+(-1)x=(6°)=(1+(-1))x=0*x=0 => (-x)=(-1)x.

Если при определении линейного пространства числа l, m,... берутся из множества вещественных чисел, то определённое таким образом пространство называют вещественным (действительным) линейным пространством. Можно брать l, m,... из множества комплексных чисел, тогда мы придём к понятию комплексного линейного пространства.