1. Критерий совместимости системы лау. Теорема Кронекера-Копелли.

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁;…;a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m (1)

[Теорема]: Система (1) ЛАУ совместна в том и только то случае, когда RgA=RgA’ (расширенной матрице системы).

[Док-во]: 1) Необходимость. Пусть система совместна, т.е. существуют числа с₁, с₂,...,с_n такие, что выполняется c₁a₁+c₂a₂+…+c_na_n=b

RgA’=Rg(A|B)=Rg(a_1,a₂,…,a_n|b)=Rg(a₁,a₂,…,a_n|b-c₁a₁)= Rg(a₁,a₂,…,a_n|b-c₁a₁-…-c_na_n)= Rg(a_1,a₂,…,a_n|0)=Rg(A|0)=RgA, т.к. ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов. 2) Достаточность. Пусть RgA=RgA’=k, следовательно у А существует базисный минор порядка k. По теореме о базисном миноре столбцы a₁a₂…a_n – базисные, они линейно зависимы и любой столбец А линейно выражается через базисные столбцы, т.е. b=c₁a₁+c₂a₂+…+c_ka_k+0a_(k+1)+…+0a_n. числа c₁,c₂,…,c_n являются решениями системы => система совместна. c_k+1=c_(k+2)=…=c_n=0.

Вопрос4

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства решений. Критерий наличия ненулевых решений.

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁;…;a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m (1)

[О.1]: Система линейных алгебрических уравнений называется однородной (1), если все её свободные члены (b₁,…,b_m) равны нулю.

A=||a_ij||_mxn=(a₁,a₂,…,a_n)

[Теорема]: Критерий существования ненулевых решений у однородной системы ЛАУ. Система ЛАУ (1) совместна тогда и только тогда, когда RgA<n (числа неизвестных).

[Док-во]: Система имеет ненулевое решение в том и только том случае, когда x₁a₁+…+x_na_n=0 <=> c₁a₁+…+c_na_n=0 <=> столбцы a₁,…,a_n линейно зависимы <=> RgA<n.

[Теорема]: Свойства решений однородной системы ЛАУ. Пусть x₁ и x₂ – решения системы, то для любых чисел a₁ и a₂ линейная комбинация решений a₁х₁+a₂х₂ также решение системы.

[Док-во]: По условию Ax₁=0 и Ax₂=0 => А(a₁х₁+a₂х₂)= a₁(Ах₁)+ a₂(Ах₂) = a₁0+a₂0=0

[Замечание]: Теорема справедлива для произвольного количества x₁,…,x_n и произвольного количества a₁,…,a_n.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁;…;a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m (1)

Пусть r=RgA, то в А существует базисный минор порядка r.

D=М(1,2,...,r;1,2…r) = |a₁₁,…,a_1r;…;a_r1,…,a_rr|¹0

По теореме о базисном миноре базисные строки линейно независимы, а любая строка линейно выражается через базисные строки, т.е. (m-r) строк линейно выражаются через r базисных строк => преобразуем (1) в (2)

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0;…;a_r1x₁+…+a_rnx_n=0; (2)

D¹0=M(1,2,…,r;1,2,…,r); «Выбрасываем» уравнения с r+1 до n порядка, если они – линейная комбинация предыдущих. Приходим к системе:

{a₁₁x₁+…+a_1rx_r=-a_(1r+1)x_(r+1)-…-a_1nx_n;…;a_r1x₁+…+a_rrx_r=-a_(rr+1)x_(r+1)-…-a_rnx_n (3)

Назовём свободными неизвестными x_r+1...x_n, главными неизвестными x₁…x_r

Т.к. D¹0, то при заданных свободных неизвестных x_(r+1)…x_n система (3) (по теореме Крамера) имеет единственное решение.

[О.1]: Любая система из (n-r) линейно независимых решений системы (1) называется фундаментальной системой решений (ФСР)

[Теорема]: Eсли RgA=r<n – число неизвестных, то система (1) имеет (n-r) линейно независимых решений.

[Док-во]: Придадим свободным неизвестным следующие значения: (х₁,x₂,…,x_r;x_(r+1),…,x_n) и из системы (3) находим решения:

x⁽¹⁾=(a⁽¹⁾₁,a⁽¹⁾₂,…,a⁽¹⁾_r;1,0,…,0); x⁽²⁾=(a⁽²⁾₁,a⁽²⁾₂,…,a⁽²⁾_r;0,1,…,0)

Число свободных неизвестных (n-r), поэтому x^(n-r)=(a^(n-r)₁,a^(n-r)₂,…,a^(n-r)_r;0,…,0,1)

x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(n-r) Докажем их линейную независимость. Составим матрицу B=(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(n-r)). В матрице существует M(B)=((r+1),…,n;…;1,…,(n-r))=(1,…,0;0,1,…,0;…;0,…,1). Это минор (n-r)-го порядка не равен нулю => в матрице B существуют (n-r) линейно зависимых столбцов => система ЛАУ имеет (n-r) линейно независимых решений.

Линейная зависимость любых (n-r+1) решений однородной системы (n-число неизвестных, r-ранг матрицы системы).Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0;…;a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0 (1)

[Теорема]: Любые n-r+1 решения системы (1) линейно независимы.

[Док-во]: Пусть x⁽¹⁾=(a¹₁,…,a¹_r; a¹_r+1,…,a¹_n); x⁽²⁾=(a²₁,…,a²_r; a²_r+1,…,a²_n)

x^(n-r)=(a ^n-r₁,…,a^(n-r)_r; a^(n-r)_(r+1),…,a^(n-r)_n); x^(n-r+1)=(a ^(n-r+1)₁,…,a ^(n-r+1)_r; a ^(n-r+1)_(r+1),…,a ^(n-r+1)_n) – решения системы (1). Составим матрицу В, столбцами которой являются значения свободных неизвестных x_r+1…x_n.

B=(a¹_(r+1),a²_(r+1),…,a^(n-r)_(r+1),a^(n-r+1)_(r+1);…;a¹_n,a²_n,…,a^(n-r)_n,a^(n-r+1)_n)

RgB£n-r<n-r+1=>столбцы В линейно зависимы, т.е. существуют числа l₁…l_n-r,l_n-r+1 (|l₁|+…+|l_n-r+1|¹0) такие, что l₁(a¹_(r+1),…,a¹_n)+…+l_(n-r+1)(a^(n-r+1)_(r+1),…,a^(n-r+1)_n)=(0);

Рассмотрим столбец y=l₁y⁽¹⁾+…+l_(n-r)y^(n-r)+l_(n-r+1)y^(n-r+1) Т.к. y-линейная комбинация решений системы (1), и l_(r+1)=…=l_n=0 => l₁=…=l_r=0 => y – нулевой столбец. Т.к. |l₁|+|l₂|+…+|l_(n-r+1)|¹0, то y_(n-r+1) – линейно зависимы, т.е. l₁y⁽¹⁾+l₂y⁽²⁾+…+l_(n-r)y^(n-r)+l_(n-r+1)y^(n-r+1)=(0).

[Теорема]: Если у однородной системы ЛАУ (1) n-число неизвестных, r=RgA, причём r<n и решения x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…,x^(n-r) образуют ФСР, то общее решение системы (1) имеет вид: x=c₁x⁽¹⁾+c₂x⁽²⁾+…+c_(n-r)x^(n-r), где с₁,…,c_(n-r)-произвольные постоянные.

[Док-во]: Пусть x⁽¹⁾,…,x^(n-r) – ФСР. 1) возьмём произвольные числа c₁,…,c_(n-r) так, что c₁x⁽¹⁾+…+c_(n-r)x^(n-r) – решение системы (1). Пусть х - произвольное решение системы (1). Система решений х₁,...,х_(n-r), x_(n-r+1) содержит (n-r+1) решений => они линейно зависимы, т.е. существуют l^­₁,…,l_(n-r+1) не все равные нулю так, что l₁x⁽¹⁾+…+l_(n-r)x^(n-r)+l_(n-r+1)x^(n-r+1)=0 Заметим, что l_(n-r+1)¹0, т.к. l₁=...=l_(n-r)=0 (т.к. x⁽¹⁾,…, x^(n-r) – решения системы, т.е. они линейно независимы)

Разделим на l_(n-r+1):

x=(-l₁/l_(n-r+1))x⁽¹⁾+ (-l₂/l_(n-r+1))x⁽²⁾+…+(-l_(n-r)/l_(n-r+1))x^(n-r), т.е. x=c₁x⁽¹⁾+…+c_(n-r)x^(n-r)