Вопрос1
Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида
|
(1) |
Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.
Здесь 
—
количество уравнений, а 
—
количество неизвестных. x1, x2,
…, xn — неизвестные, которые надо
определить. a11, a12, …, amn —
коэффициенты системы — и b1, b2,
… bm — свободные члены —
предполагаются известными[1].
Индексы коэффициентов (aij) системы
обозначают номера уравнения (i) и
неизвестного (j), при котором стоит этот
коэффициент, соответственно[2].
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Решения c1(1), c2(1), …, cn(1) и c1(2), c2(2), …, cn(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:
c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2). |
Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.
Вопрос2
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – наA21 и 3-е – на A31:
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
.
Далее рассмотрим коэффициенты при x2:
Аналогично
можно показать, что и 
.
Наконец
несложно заметить, что 
Таким
образом, получаем равенство: 
.
Следовательно, 
.
Аналогично
выводятся равенства 
и 
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Вопрос3
Метод Гаусса решения систем ЛАУ.
{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1;…;am1x1+am2x2+…+amnxn=bm (1)
A’=(A|b)
[Лемма]: Гаусса. Элементарными преобразованиями строк расширенная матрица А' системы (1) совершает переход к эквивалентной система ЛАУ.
Алгоритм Гаусса.
1) Выписываем расширенную матрицу системы.
2) Элементарными преобразованиями приводим A’ к ступенчатому виду (A'' c нулями – общий вид)
0*x1+…+0*xn=0
3) Можно выбрасывать нулевые строки (столбцы).
RgA’ – число ненулевых строк в мат A’.
если RgA’’<RgA’=r+1, в этом случае 0*x1+…+0*xn=br+1, где br+1, где br+1¹0, т.е. эта система не совместна.
Если RgA’’=RgA’=r, то при b’r+1=0 матрица A’’ имеет r ненулевых строк.
4) RgA’’=RgA’=r=n
A’’ (без нулей – ступенчатый вид).
Приводим A’’ к единичному виду, умножая последнюю строку на –an—1 и прибавляя к (n-1) строке... (и т.д.) => A’*=(1,0,0,…,0, 0,1,…,0, 0,…,0,1|b*1, b*2,…,b*n)
x1=b*1, x2=b*2,…,xn=b*n – единственное решение системы.
5)r=RgA’<n. В этом случае M (1,2,…,r; k1,k2,…,kn)¹0. Главные неизвестные xk1…xkr, а остальные свободные неизвестные. 1£k1£k2£…£kr£n
Приводит базисный минор элементарным преобразованием строк к единичному виду.
Пусть (1,2,...,r; 1,2,...,r)=0, r<n;
A’’=(1,…,a’(1r+1),…,a’1n; 0,1,…,a’(2r+1),…,a’2n;…; 0,…0,1,…,arn|b’1, b’2,…,b’r)
x1,…,xr – главные неизвестные, x(r+1),…,xn – свободные.
x1=b’1-a’(1r+1)x(r+1)-…-a’1nxn;…;xr=b’r-a’(rr+1)x(r+1)-…-a’rnxn
Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называютсябазисными неизвестными, а остальные () — свободными неизвестными.