Вопрос2

3.Перестановки n чисел, их свойства, четные и нечетные перестановки, транспозиции.

Даны n элементов a₁,a₂,…,a_n (всюду далее считаем, что эти элементы – 1,2,…,n). Всевозможные расположения этих элементов 1,2,…,n называются перестановками. 1,2,…,n – главная перестановка. Число всех перестановок из n элементов равно n! i₁,i₂,…,i_n – перестановка

Элементы i_k и i_l образуют порядок, если k<l, i_k<i_l.

В противном случае говорят, что элементы образуют инверсию.

Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий (нечетной – если в ней нечетное число инверсий).

542316

Правило подсчета числа инверсий в перестановке:

542316 à 4

54236 à 2

5436 à 2

546 à 1

56

Число инверсий – 9 Перестановка нечетная.

Опр: Взаимное перемещение 2 элементов перестановки местами называется транспозицией. При этом не важно, стоят ли перемещаемые элементы рядом, или между ними имеется группа элементов.

5 4 2 3 1 6 5 1 2 3 4 6 (1 транспозиция элементов 1 и 4)

Утв 1. Все n! перестановок из n элементов можно упорядочить так, чтобы каждая следующая перестановка получалась из предыдущей путем одной транспозиции (причем начинать такое упорядочивание можно с любой перестановки).

Доказательство: При n=2 утверждение очевидно. Предполагается, что утверждение справедливо при каком-то значении n-1, т.е. все (n-1)! перестановки из n-1 элемента можно упорядочить нужным образом. Берем любую перестановку из n элементов i₁, i₂,…,i_n

Перестановка из n-1 Сначала упорядочим все перестановки, у которых на первом месте стоит элемент i₁. Согласно предположению индукции, мы можем должным образом такие перестановки упорядочить. В последней из полученных перестановок совершим одну транспозицию, поменяв местами элементы i₁ и i₂.

Применяя предположение индукции к перестановкам, у которых на первом месте элемент i₂, продолжаем процесс, пока не дойдем до i_n.

Следствие: Из любой перестановки элементов 1,2,…,n любую другую перестановку этих же элементов можно получить путем конечного числа транспозиций.

Вопрос3 Определитель.

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а11:

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Свойства определителей (перемена местами двух строк, определитель с двумя равными строками и свойства линейности).

1) Определитель транспонированной матрицы равен определи­телю исходной матрицы, т. с. det A^T = det A.

2) Если поменять местами две строки (два столбца) определите­ли, то он изменит знак.

3) Если определитель содержит две одинаковых строки (два оди­наковых столбца), то он равен нулю.

4) Если определитель содержит нулевую строку (нулевой стол­бец), то он равен нулю.

5) Общий множитель в строке (в столбце) можно выносить за знак определителя.

6) Определитель не изменится, если к любой строке прибавить (из любой строки вычесть) любую другую строку, умноженную на любое число. Аналогичное свойство верно и для столбцов.

-Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка.

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

-Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матри- цы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.