Вопрос4

Def:

Полутаролинейная форма B(x,y) называется эрмитовой (эрмитовосиметрической), если

Замечание:

В евклидовом пространстве эрмитовость переходит в симметричность: B(x,y)=B(y,x), здесь B(x,y) – симметрическая билинейная форма.

Пусть B(x,y) – полуторалинейная форма в унитарном пространстве U,

,

,

Тогда B(x,y)=

Def:

Матрица элементы которой равны называется

матрицей полуторалинейной формы B(x,y) в базисе .

B(x,y)= - общий вид полуторалинейной формы в унитарном пространстве.

Th (о представлении полуторалинейной формы):

Пусть B(x,y) - полуторалинейная форма в унитарном пространстве U. Тогда линейный оператор такой что B(x,y)=(х,Ау).

Док-во:

При фиксированном полуторалинейная форма B(x,y) является линейной формой по теореме о представлении линейной формы Одновременно получаем что соответствует некоторой элемент и притом единственный (по теореме о представлении линейной формы), следовательно существует отображение такое что h=Ay B(x,y)=(x,h)=(х,Ау).

Докажем линейность оператор А. С одной стороны B(x,y+z)= B(x,y)+ B(x,z)=(х,Ау)+ (х,Аz)=(x,Ay+Az). С другой стороны B(x,y+z)= (x,A(y+z)) (по определению полутаролинейной формы), откуда получаем (x,Ay+Az)= (x,A(y+z)) Ay+Az = A(y+z). Аналогично доказывается, что А - линейный оператор. Докажем единственность линейного оператора А методом от противного, т.е. пусть существует еще один линейный оператор , такой что B(x,y)=(x, y). Тогда из определения равенства операторов следует что А= #

Замечание:

Аналогичная теорема верна и для билинейной формы в евклидовом пространстве Е.

Вопрос3

Матрицей оператора в базисе называется квадратная матрица порядка n, в j - том столбце которой стоят координаты вектора в базисе .

Теорема 1. Координаты образа через координаты прообраза.

Если ,

то .

Док-во:

Пусть , разложим по базису , и образ

.

Итак, в пространстве в фиксированном базисе каждому линейному оператору

соответствует матрица этого оператора..

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы.

[e]= (e₁,…,e_n) [e’]=(e’₁,…,e’_n); [e]->[e’]: (e’₁,…,e’_n)=T(e₁,…,e_n), где Т – матрица перехода от базиса [e] к [e’]. AÎL(V_n)

[e]:A<->A_e:(Ae₁,…,Ae_n)=(e₁,…,e_n)A_e

[e’]:A<->A_e’:(Ae’₁,…,Ae’_n)=(e’₁,…,e’_n)A_e’

с одной стороны: (Ae’₁,…,Ae’_n)=(e’₁,…,e’_n)A_e’=((e₁,…,e_n)Т)A_e’=(e₁,…,e_n)(ТA_e’)

c другой стороны: (Ae’₁,…,Ae’_n)=А(e’₁,…,e’_n)=А((e₁,…,e_n)Т) =лемма3= (e₁,…,e_n)(A_eT) => (e₁,…,e_n)(ТA_e’)=(e₁,…,e_n)(ТA_e)<=> TA_e’=A_eT<=>A_e’=T^-1A_eT

[О.1]: Квадратные матрицы C и D порядка n называются подобными, если существует невырожденная матрица Q такая, что C=Q^-1DQ

Замечание: C~D=>D~C, Действительно, D=QCQ^-1=(Q^-1)^-1CQ^-1

[Сл.1]: Подобные матрицы, и только они определяют один и тот же линейный оператор в разных базисах пространства V_n

[Док-во]: AÎL(V_n). 1)[e]: A<->A_e [e’]: A<->A_e’ т.к. A_e’=T^-1A_eT, то матрицы A_e’=A_e – подобны. 2) Пусть [e]: A<->A_e и пусть B=Q^-1A_eQ, т.е. B подобна A_e. Построим (e’₁,…e’_n)=(e₁,…e_n)Q, т.к. detQ¹0, то (e’₁,…e’_n) – базис в V_n. [e’]:A<->A_e’ По формулам преобразования матрицы оператора A_e=Q^-1A_eQ=B, т.е. B является матрицей оператора A в [e’]

[Сл.2]: Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. (определители подобных матриц равны)

[Док-во]: Пусть B~C, т.е. найдется Q (detQ¹0) такая, что B=Q^-1CQ

detB=detQ^-1detCdetQ=1/detQ*detCdetQ=detC=>"AÎL(V_n): detA_e=detA_e’

Обратная матрица и ее свойства. Критерий обратимости матрицы. Формула для обратной матрицы.

Обратная матрица.

Пусть АєMn. Матрица ХєMn называется обратной к А, если

А•Х=Х•А=Е (т.е. Х является одновременно и правой обратной, и левой обратной матрицей к А).

Пишут: Х=А-1

Картина такова: если detA=0, то А не имеет ни левой обратной, ни правой.

Если detA≠0, то $! Х, являющаяся и правой и левой обратной к А (т.е. существует только одна и сразу двусторонняя).

Свойства:

1) (А-1)-1 = А

2) (А•В)-1 = В-1•А-1

3) (А’)-1 = (А-1)’

Доказательство:

1. Следует из симметрии в определении обратной матрицы.

2. Покажем, что В-1•А-1 является решением матричного уравнения А•В=E

(А•В)(В-1•А-1)=А•(В•В-1) •А-1=А•А-1=E

3. А•А-1=E (транспонируем)

(А•А-1)’=E

(А-1)’•А’=E => А’ обратная (А-1)’ и наоборот.

Вычисляем А-1 с помощью элементарных преобразований

А E, если |А|≠0

Совершим с матрицей строковое элементарное преобразование, равносильное умножению её слева на некоторую невырожденную матрицу. Например, l , l≠0 равносильно.

Итак, Р5•…•Р2•Р1•А=E (пришли к единичной матрице за 5 шагов)

=> Р5•…•Р2•Р1=А-1, т.е. (Р5•…•Р2•Р1)•E=А-1 , что обосновывает практический способ нахождения А-1 с помощью элементарных преобразований.

(А|E)~(E|А-1)

Линейная зависимость независимость столбцов (строк) матрицы. Критерий линейной зависимости и достаточные условия линейной зависимости столбцов (строк) матрицы.

Линейная зависимость и независимость строк и столбцов матрицы.

a)Определение. б)Свойства.

Общее условие равенства нулю определителя.

– линейная комбинация столбцов того же порядка, если его можно представить в виде взвешенной суммы. – коэффициент линейных комбинаций, или весовой коэффициент.

Пусть

Система и п столбцов одного и того же порядка называется линейно зависимой, если существуют такие , что линейная комбинация равна , следовательно хотя бы один из этих столбцов является , либо может быть выражен в виде линейной комбинации других столбцов.

Система из п столбцов является линейно независимой, если равенство их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все весовые коэффициенты – нули.

Свойства:

1/Дополнения к линейно зависимой системе любых других столбцов приводит к ассиметричной линейной зависимости.

2/Исключение из линейно-независимой системы любых столбцов даёт независимую подсистему.

Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя матрицы:

Для того чтобы определитель матрицы был равен нулю необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из его столбцов или строк был линейной комбинацией остальных, или чтобы столбцы, или строки были линейно зависимы.

10.Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре (без док-ва).

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. (Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами . Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным. Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца. )

Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один aij элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число r такое, что

у матрицы A имеется минор r-го порядка, для которого Δr0;

всякий минор матрицы A порядка r+1 и выше равен нулю, тогда число r, обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается r = RgA.

Из определения 7 вытекает, что

ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так rmin(m,n).

если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. aij=0, то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю r = RgA = 0.

Понятие ранга матрицы играет очень важную роль при построении графиков, при нахождении решения системы линейных уравнений, при переходе от одного базиса к другому, а также широко используется в прикладных исследованиях, особенно при обработке результатов эксперимента, выделения аномалий и количественного определения качества предоставленной для изучения информации. Об этих и многих других задачах мы будем говорить несколько позже.

Определение 8. Всякий детерминант минора матрицы A, отличный от нуля, размер которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Т.е. иными словами ранг матрицы A это наивысший отличный от нуля минор.

Минор — это определитель, полученный вычеркиванием строки или столбца. Базисный минор — любой минор r порядка м-ы А отличный от 0. Минором Мij матрицы A, n*n, называется определитель, полученный вычеркиванием i строки и j столбца из матрицы А. Минор, взятый с определенным знаком называется алгебраическим дополнением элемента. Aij = (-1) ^(i + j) Mij

Теорема о базисном миноре.

Базисные строки и столбцы матрицы А - ЛНЗ, при этом любая строка (столбец) матрицы А есть линейная комбинация (ЛК) базисных строк (столбцов).

11.Критерий равенства нулю определителя и линейная зависимость системы из (r+1) строки матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы.

Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы линейно зависимы.

Строки (столбцы) определителя линейно зависимы тогда и только тогда, когда

хотя бы одна (один) из них линейно выражается через остальные строки.

Таким образом, определитель равен нулю тогда и только тогда, когда

хотя бы одна из его строк (один из его столбцов) линейно выражается через остальные

столбцы.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю.

Обозначаем Rg A, rg A, rank A.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы. То есть, если ранг матрицы равен r, то среди строк (столбцов) матрицы есть r линейно независимых строк (столбцов), а любые r +1 строки (столбца) — линейно зависимы.

Матрицы, имеющие одинаковый ранг — подобные матрицы.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Теорема (о ранге матрицы):

Пусть А є Mm•n

Тогда максимальное число ЛНЗ строк матрицы А совпадает с максимальным числом ее ЛНЗ столбцов, и это число равно Rang A

Доказательство:

Если Rang A=r то по теореме о базисном миноре у матрицы А найдется r ЛНЗ столбцов, а любые р столбцов (р>r) ЛЗ =>r – это максимальное число ЛНЗ столбцов А (для строк аналогично).

.Элементарные преобразования матриц. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.

Вычисление ранга методом элементарных преобразований:

1.

2.

3. (поменять местами)

То же самое и для столбцов (4-6).

А→В (от А к В пришли с помощью элементарных преобразований)

Поскольку элементарные преобразования обратимы, то чаще пишут А~В (доказательство элементарных преобразований сразу вытекает из теоремы о ранге матрицы, для 2. очевидно)

Утверждение 1.

Если А~В, то Rang A=Rang B.

Утверждение 2.

А≠ , АєMm•n

С помощью элементарных преобразований 1-3,6 матрицу А можно привести к трапециевидной форме.

А С=

m-r нулевых строк

=> Rang A=Rang C=r

Доказательство.

А≠0 => $aij≠0 aij попадет на место a11 он стал равным 1.

Далее, получаем в первом столбце нули, совершая элементарные преобразования 1,2.

А ,

если не равно 0, процесс продолжаем, пока не получим C.