Вопрос3

Закон инерции квадратичных форм.

[О.1]: Говорят, что квадратичная форма F(x,x) в базисе (e1,…,en) имеет нормальный вид, еcли квадратичная форма может быть представлена в виде F(x,x)=e1(x1)2+e2(x2)2+…+en(xn)2, где eI=1, -1, 0 и x=i=1ånxiei

[Лемма]: Пусть Vn-n-мерное линейное пространство. L1 и L2 – подпространства Vn. Если dimL1+dimL2>n, то L1ÇL2¹{0}

[Теорема]: Закон инерции квадратичной формы. Число положительных и отрицательных коэффициентов ei в нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора базиса, в котором она приведена к нормальному виду.

[Док-во]: Пусть в базисе [e] число положительных коэффициентов p, а в базисе [e’] – p’

Допустим, что p>p’. Рассмотрим подпространство L1=L(e1,..,ep)-линейная оболочка (e1,...,en), dimL1=p; L2=L{e’p’+1,…,e’n}– линейная оболочка, dimL2=n-p’

dimL1+dimL2=p+(n-p’)>n, т.к. p>p’ => по лемме существует x¹0, xÎL1ÇL2

Вычислим значение F(x,x): а)т.к. xÎL­1: x=x1e1+…+xpep+0ep+1+…+0en F(x,x)=(x1)2+…+(xp)2>0. б) т.к. xÎL2: x=x’p’+1e’p’+1+…+x’ne’n¹0 F(x,x)=-(x’p’+1)2-…-(x’p’+q’)2£0. Противоречие => p=p’.

Аналогично доказывается q=q’

[О.2]: Число p- положительных коэффициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы, q-число отрицательных коэффициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы.

Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичных форм.

[О.1]: Квадратичн форма F(x;x) на действительном пространстве V называется

1) Положительно определённой, если "xÎV x¹0, тогда F(x;x)>0

2) Отрицательно определённой, если "xÎV x¹0, F(x;x)<0

3) Знакопеременной, если $x₁,x_2ÎV F(x₁;x₁)>0 F(x₂;x₂)<0

4) Положительно полуопределённой, если "xÎV, F(x;x)>=0 и $y¹0 F(y;y)=0

5) Отрицательно полуопределённой, если "xÎV, F(x;x)<=0 и $y¹0 F(y;y)=0

[Теорема]: Квадратичная форма F(x;x) в V_n является 1) положительно определенной p=n, q=0. 2) отрицательно определённой p=0, q=n.3) знакопеременной p>0 q>0. 4) положительно полуопределённой p<n q=0. 5) отрицательно полуопределённой p=0 q<n.

[Док-во]: Доказываем пункт 1. 1) Необходимость. Пусть "xÎV, х¹0 F(х;х)>0, тогда F(x;x)=(x¹)²+…+(x^p)²-(x^p+1)²-…-(x^p+q)² Если p¹n, то F(x;x)=(e_p+1;e_p+1)={-1 q>0;0 q=n =>p=n q=0 2) Достаточность. Пусть в некотором базисе [e] p=n q=0 тогда F(x;x)=(x¹)²+…+(xⁿ)^{2 "}x= _i=1å^nxie_i¹0; F(x;x)=_i=1åⁿ(xⁱ)²>0. F(x,x)=_i,j=1åⁿa_ijx^ixj<->A^F_e(a₁₁ a₁₂…a_1n;…;a_n1 a_n2…a_nn) "i,j: a_ij=a_ji.

[О.2]: Миноры d₁=M(1;1)=a₁₁; d₂=M(1 2;1 2);…;d_k=M(1 2…k;1 2…k), d_n=|A^F_e| называются главными минорами матрицы A.

[Теорема]: Критерий Сильвестра. 1) Квардатичная форма F(x;x) положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры положительны, т.е. "i=1…n d_i>0. 2) Квадратичная форма F(x;x) отрицательно определена, когда все главные миноры чередуются d₁<0 d₂>0 d₃<0… или (-1)d_k>0 "k=1,…,n.