Вопрос1

Билинейные формы в действительном линейном пространстве. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Представление билинейной формы через координаты векторов.

[О.1]: Пусть V-действительное линейное пространство. Билинейной формой на V называется действительная функция F(x,y) от двух переменных векторов x,yÎV, линейная по каждому аргументу при фиксированном втором аргументе, т.е. "x,y,zÎV, "lÎR: 1)F(x+y,z)=F(x,z)+F(y,z); F(lx,z)=lF(x,z) 2)F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z); F(x,ly)=lF(x,y)

[О.2]: Билинейная форма F(x,y) называется симметричной, если "x,yÎV: F(x,y)=F(y,x). Билинейная форма G(x,y) называется кососимметричной, если "x,yÎV: G(x,y)=-G(y,x)

[О.3]: Квадратная матрица A^f_e=||a_ij||_nxn порядка n называется матрицей билинейной формы в базисе [e], если a_ij=F(e_i, e_j) i,j=1,…,n A^f_e=(a₁₁…a_1n;…;a_n1…a_nn)

[Теорема]: В базисе [e] существует взаимнооднозначное соответствие между билинейными формами на V_n и квадратными матрицами порядка n. Причём F(x,y) ставится однозначно задается как F(x,y)= _i,j=1åⁿa_ijx^ihj, где a_ij=F(e_i,e_j).

[Док-во]: 1)F(x,y)->A^F_e=||a_ij||_nxn; a_ij=F(e_i, e_j). F(x,y) = F(_i=1å^nxie_i, _j=1å^nhje_j)= _i=1åⁿ_j=1å^nxihjF(e_i,e_j)=_i,j=1åⁿa_ijx^ihj

2)Пусть B=||b_ij||поизвольная матрица порядка n. Построим функцию G(x,y)=_i=1åⁿb_ijx^ihj. G(x,y) – билинейная форма G(e_i, e_j)=b_ij×1×1=b_ij, i,j=1,…,n

[О.4]: Квадратная матрица A=||a_ij||_nxn называется симметричной, если A=A^T, т.е. "i,j a_ij=a_ji. Квадратная матрица А=||a_ij||_nxn называется кососимметричной, если -A=-A^T, т.е. "i,j a_ij=-a_ji.

[Следствие]: Билинейная форма F(x,y) является симметричной (кососимметричной), если в любом базисе V_n матрица этой формы Q симметрична (кососимметрична)

[Док-во]: 1)"x,yÎVn: F(x,y)=F(y,x) "i,j aij=F(ei, ej)=F(ej,ei)=aji

2) пусть AFe=(AFe)T, т.е. "i,j aij=aji. "x,yÎV F(x,y)=i,j=1ånaijxihj=i,j=1ånajixihj=F(y,x) => F(x,y) – симметрична.

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

V_n – n-мерное пространство. [e]=(e₁,…,e_n) – базис V_n

[e’]=(e’₁,…,e’_n)=(e₁,…,e_n)S, S – матрица перехода от [e] к [e’]

x=_i=1å^nx’ⁱe’_i=(e’₁,…,e’_n)(x’¹;…;x’ⁿ)=[e’]x’; y=_j=1å^nh’^je’_j=[e’]h’

(x¹;…;xⁿ)=S(x’¹;…,x’ⁿ) <=> x=Sx’; (h¹;…;hⁿ)=S(h’¹;…;h’ⁿ) <=> h=Sh’

(x)^T=[Sx’]^T=(x’)^TS^T

[e’]: F(x,y)=(x’)^TA^F_e(h’)

[e]: F(x,y)=(x)^TA^F_e(h)=[(x’)^TS^T]A^F_e[Sh’]=(x’)^T(S^TA^F_eS)h’=(x)^TA^F_e(h’)=>A^F_e’=S^TA^F_eS

Воррос2

Квадратичные формы в линейном пространстве, полярная билинейная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа.

[О.1]: Пусть на линейном пространстве V задана симметричная билинейная форма F(x;y). Функция f(x,x) полученная из F(x;y) заменой y на х называется квадратичной формой соответствующей симметричной билинейной форме называют полярной квадратичной формы F(x;y)

Свойства квадратичной формы.

1° Полярные формы F(x;y) однозначно определяется соответств квадратичной форме F(x;y)=F(y;x)

[Док-во]: F(x;y)->F(y;x); F(x+y; x+y)=F(x;x+y)+F(y;x+y)=F(x;x)+F(x;y)+F(y;x)+F(y;y)=F(x;x)+2F(x,y)+F(y,y)

F(xy)=1/2[F(x+y;x+y)-F(x,x)-F(y,y)]

2° В пространстве V существует взаимнооднозначное соответствие между квадратичными и полярными симметричными билинейными формами F(x,y)<->F(x,x)

[О.2]: Матрицей квадратичной формы F(x;x) в базисе [e] называется матрица A^k_E полярной к F(x,x) симметричной билинейной формы.

3° Матрица квадратичной формы в любом базисе симметрична.

4° В фиксированном базисе [e] пространства V_n существует взаимооднозначное соответствие между квадратичными формами и симметричными. матрице.

[Док-во]: F(x;x)<->F(x;y)<->A^F_e

5° Пусть [e] – базис (e₁,…,e_n); x=_i=1å^nxie_i=(e₁,…,e_n)x; A^F_e=||a_ij||_nxn-матрица F(x;x) в [e], тогда F(x;x)= _i,j=1åⁿ a_ijx^ixj или в матричной форме: F(x;x)=(x)^TA^F_e(x)

6° Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса: A^F_e=S^TA^F_eS, где S – матрица перехода.

[О.3]: Говорят, что в базисе [e] квадратичкая форма имеет канонический вид (диагональный), если F(x,x)=l₁(x¹)²+l₂(x²)²+…+l_n(xⁿ)², где x=_i=1å^nxie_i, l₁,…,l_nÎR В этом случае базис [e] называют каноническим A^F_e=(l₁…0;…;0…l_n)

[Теорема]: Метод Лагранжа. Пусть в базисе e₁,…,e_n пространства V_n квадратичкая форма

F(x,x)=_i,j=1åⁿa_ijx^ixj, где x= _i=1å^nxie_i. Тогда существует базис (e’₁,…,e’_n) в V_n, в котором F(x,x)=l₁(x’¹)²+l₂(x’²)²+…+l_n(x’ⁿ)², где x=_i=1å^nx’ⁱe'_i.

[e]: f<->(f₁,…,f_n) f_i=f(e_i); [e’]: f<->(f’₁,…,f’_n) f’_i=f(e’_i); e’_I=_j=1åⁿ t^j_ie_j

f(e’_I)=_j=1åⁿt^j_if(e_j)=_j=1åⁿt^j_if_j

(f’₁,…,f’_n)=(f₁,…,f_n)T

(e’₁,…,e’_n)=(e₁,…,e_n)T