Вопрос3 Матрицей оператора в базисе называется квадратная матрица порядка n, в j - том столбце которой стоят координаты вектора в базисе .

Теорема 1. Координаты образа через координаты прообраза.

Если ,

то .

Док-во:

Пусть , разложим по базису , и образ

.

Итак, в пространстве в фиксированном базисе каждому линейному оператору соответствует матрица этого оператора..

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы.

[e]= (e₁,…,e_n) [e’]=(e’₁,…,e’_n); [e]->[e’]: (e’₁,…,e’_n)=T(e₁,…,e_n), где Т – матрица перехода от базиса [e] к [e’]. AÎL(V_n)

[e]:A<->A_e:(Ae₁,…,Ae_n)=(e₁,…,e_n)A_e

[e’]:A<->A_e’:(Ae’₁,…,Ae’_n)=(e’₁,…,e’_n)A_e’

с одной стороны: (Ae’₁,…,Ae’_n)=(e’₁,…,e’_n)A_e’=((e₁,…,e_n)Т)A_e’=(e₁,…,e_n)(ТA_e’)

c другой стороны: (Ae’₁,…,Ae’_n)=А(e’₁,…,e’_n)=А((e₁,…,e_n)Т) =лемма3= (e₁,…,e_n)(A_eT) => (e₁,…,e_n)(ТA_e’)=(e₁,…,e_n)(ТA_e)<=> TA_e’=A_eT<=>A_e’=T^-1A_eT

[О.1]: Квадратные матрицы C и D порядка n называются подобными, если существует невырожденная матрица Q такая, что C=Q^-1DQ

Замечание: C~D=>D~C, Действительно, D=QCQ^-1=(Q^-1)^-1CQ^-1

[Сл.1]: Подобные матрицы, и только они определяют один и тот же линейный оператор в разных базисах пространства V_n

[Док-во]: AÎL(V_n). 1)[e]: A<->A_e [e’]: A<->A_e’ т.к. A_e’=T^-1A_eT, то матрицы A_e’=A_e – подобны. 2) Пусть [e]: A<->A_e и пусть B=Q^-1A_eQ, т.е. B подобна A_e. Построим (e’₁,…e’_n)=(e₁,…e_n)Q, т.к. detQ¹0, то (e’₁,…e’_n) – базис в V_n. [e’]:A<->A_e’ По формулам преобразования матрицы оператора A_e=Q^-1A_eQ=B, т.е. B является матрицей оператора A в [e’]

[Сл.2]: Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. (определители подобных матриц равны)

[Док-во]: Пусть B~C, т.е. найдется Q (detQ¹0) такая, что B=Q^-1CQ

detB=detQ^-1detCdetQ=1/detQ*detCdetQ=detC=>"AÎL(V_n): detA_e=detA_e’

Вопрос4

Характеристический многочлен матрицы. Характеристический многочлен линейного оператора, его инвариантность.

AÎL(V_n) Пусть A=||aⁱ_j||ⁿ_n – квадратная матрица порядка n.

Постороим A-lE=(a¹₁-l a¹₂…a¹_n;a²₁ a²₂-l…a²_n;…; aⁿ₁ a¹₂…aⁿ_n-l).

[О.1]: Определитель det(A-lE) характеристической матрицы А-lЕ называется характеристическим многочленом матрицы А.

[Теорема]: Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

[Док-во]: Пусть C~D т.к. найдется Q: C=Q^-1DQ. det(C-lE)=det(Q^-1DQ-Q^-1lEQ)=det[Q^-1(D-lE)Q]=detQ^-1det(D-lE)detQ=det(D-lE)

[О.2]: Характеристическим многочленом оператора А называется характеристический многочлен матрицы этого оператора в некотором базисе пространства V_n.

[Сл]: Характеристический многочлен оператора А не зависит от выбора базиса.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Примеры. Теорема о собственных значениях линейного оператора в конечномерном пространстве. Нахождение собственных значений и координат собственных векторов.

Пусть V – действительное (комплексное) линейное пространство, AÎL(V)

[О.1]: Действительное (комплексное) число l называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор xÎV такой, что Ax=lx (1). Всякий xÎV (x¹0), удовлетворяющий (1) называется собственным вектором, отвечающим собственному значению l

[Теорема]: В действительно пространстве V_n действительные корни характеристического многочлена оператора А и только они являются собственными значениями оператора.

[Док-во]: Т.к. V­_n-n-мерное пространство, то существует базис из n векторов, [e]= (e₁,…,e_n) "xÎV_n: x= _i=1å^nxie_i=(e₁,…,e_n)(x¹,…,xⁿ). Число lÎR(lÎc) является собственным значением А<=>$х¹0 такой, что Ах=lх.

Ах= _i=1å^nhie_i(h¹,…,hⁿ)=A_e(x¹,…,xⁿ), где А_е – матрица А в [e] Т.к. Ах=l₀х: l₀(x¹,…,xⁿ)=А_е(x¹,…,xⁿ)<=>А_е(x¹,…,xⁿ)-lЕ(x¹,…,xⁿ)=(0,…,0)<=>(A-l₀E)(x¹,…,xⁿ)=0

l₀-собственное значение А и x¹0=(e₁,…,e_n)x-собственный вектор, отвечающий l₀=>(A_e-l₀E)x=0 (2)

(2) {(a¹₁-l₀)x¹+a¹_2x²+…+a¹_nxⁿ=0; a²_1x¹+(a²₂ -l₀)x²+…+a²_nxⁿ=0;…; aⁿ_1x¹+aⁿ_2x²+…+(aⁿ_n-l₀)xⁿ=0

Теорема 6. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса и , пусть - матрица перехода от базиса к базису , то есть

Будем рассматривать оператор .Обозначим - матрица оператора в базисе , - матрица оператора в базисе . Тогда

(2)

Доказательство. По определению матрицы оператора, верно: ,

. Заметим, что

С другой стороны:

. Сравним полученные равенства

Получаем: . Домножим слева на обратную матрицу , она существует, так как матрица - невырожденная. Итак

Определение 7. Квадратные матрицы и порядка называются подобными, если найдется невырожденная матрица такая, что (3)

Следствие 1. Подобные матрицы и только они задают один и тот же оператор в различных базисах пространства .

Следствие 2. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

, так как

Определение

Определение 8. Определителем линейного оператора называется определитель матрицы этого линейного оператора.

Оператор называется невырожденным, если .