3 6.Продолжение

Строим график:

Особенностью расчёта цепей данного класса является то, что, на его точность окажет сильное влияние идеализация ключевого и индуктивного элементов. Если допустить мгновенность размыкания, то на индуктивности возникнет бесконечно большое напряжение, но на практике такое невозможно. При резком изменении тока индуктивности может загореться дуга в размыкателе или возникнуть высокочастотный колебательный контур, образованный индуктивностью и распределённой межвитковой ёмкостью катушки. Часть энергии при такой коммутации неизбежно превратится в теплоту электрической дуги или будет излучаться в виде электромагнитных волн. Это означает, что электрическую цепь нельзя практически рассматривать как абсолютно замкнутую систему и нельзя ожидать точного выполнения обобщенного закона коммутации. Чем ближе свойства элементов цепи к своим идеализациям, тем точнее обобщенный закон коммутации описывает процесс в цепи.

30. Пути восстановления оригинала функции по известному ее операторному изображению.

Под p условимся принимать комплексное число p =  + j (можно рассматривать как комплексную частоту). Функцию времени (ток, напряжение) обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p) – изображение. Соответствие F(p) = f(t) устанавливается с помощью преобразований:

• прямое преобразование Лапласа:

(1)

• обратное преобразование Римана-Мелина:

(2)

Изображение напряжения на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе u_c часто записывают в виде:

,

где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

,

где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через C в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением u_c(0), которое было на нем при t=0.

Поэтому: .

Простейшие операторные соотношения содержатся в справочном материале многих учебных пособий в виде готовых таблиц.

Отметим основные свойства преобразования Лапласа:

1. Соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначно: каждой функции f(t) соответствует F(p) и наоборот.

2. При умножении оригинала f(t) на постоянную величину , умножается и изображение:

f(t) . = ^ F(p) .

3. Изображение суммы функций равно сумме изображений этих функций.

Эта теорема позволяет по известному изображению функции в виде рациональной дроби:

найти соответствующий ей оригинал, где

B(p) = b_mp^m + b_m-1p^m-1 + … + b₁p + b₀ = b_m (p–p₁)(p–p₂)…(p–p_m) .

p₁, p₂, … , p_m – корни уравнения B(p)=0.

Теорема разложения аналитически представляется формулой:

.

Доказательство:

.

Из курса математики известно, что если n<m, a_k и b_k – вещественные числа, а корни p₁, p₂, … , p_m уравнения B(p)=0 различные, то дробь может быть представлена в виде суммы простых дробей:

.

Для определения коэффициента A₁ умножим обе части уравнения на (p–p₁):

.

Рассмотрим это выражение при pp₁. Правая часть дает A₁, левая представляет собой неопределенность, так как множитель (p–p₁) дает ноль, и знаменатель B(p) при p=p₁ тоже обращается в ноль.

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя, и найдем предел дроби.

, где

B’(p) – производная от B(p) по p,

B’(p₁) – значение B’(p) при p=p₁,

A(p₁) – значение A(p) при p=p₁.

Следовательно, при pp₁ получаем уравнение:

. Аналогично: .

Таким образом, .

Пусть изображение какой-либо функции времени, например тока, представлено в виде дроби:

.

Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой части является i(t). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слагаемых. Так как множители – есть постоянные числа, а функциями p являются множители , которым соот-вуют функции времени вида . Поэтому: .

Последовательность вычислений по формуле такова:

1. Приравниваем B(p) к нулю и определяем корни p₁, p₂, … ,p_n.

2. Вычисляем производную B’(p) и подставляем в нее корни p₁, p₂, … ,p_n (поочередно).

3. Подставляем в числитель корни p₁, p₂, … ,p_n. Определяем его значения – A(p_k).

4. Вычисляя отдельные слагаемые и суммируя их, определяем оригинал f(t).

Замечания к формуле разложения:

1. Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источника эдс или тока, воздействующего на схему.

2. Если уравнение B(p)=0 имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые в формуле разложения оказываются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.