Частотный критерий. Критерий Найквиста

 

Этот критерий разработан в 1923 г. американским ученым Найквистом. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению АФЧХ разомкнутой системы.

Вектор   разомкнутой системы при изменении частоты   от   до   меняется по величине и фазе.

Кривая, описываемая окончанием этого вектора есть АФЧХ разомкнутой системы, причем следует отметить, что вид этой характеристики симметричен относительно начала координат, т.е.

Для доказательства критерия Найквиста используют дополнительную функцию вида:

Причем в знаменателе такой функции будет записан характеристический полином разомкнутой системы, а в числителе характеристический полином замкнутой системы:

В случае замены оператора Лапласа р на  , получим частотную функцию вида:

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы   имеет   - правых корней и  - левых корней, а характеристическое уравнение разомкнутой системы   имеет  правых и   левых корней (под правыми корнями подразумевают корни лежащие справа от мнимой оси комплексной плоскости и определяющие неустойчивость функционирования системы).

При рассмотрении этого критерия так же работает принцип аргумента, который определяет, что устойчивой система является, когда вектор   повернется на соответствующий угол.

Разомкнутая система являющееся неустойчивой и имеющая  правых корней будет определять, что замкнутая система устойчивая тогда и только тогда, когда АФЧХ вспомогательной функции   при изменении частоты   от   до   охватывает начало координат в положительном направлении   - раз.

Найквистом было отмечено, что движение вектора   вокруг начала координат равно числу оборотов вектора   вокруг точки с координатами  .

Критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то для того чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы   при изменении частоты   от   до   охватывала точку с координатами   в положительном направлении   - раз (где  число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

При сложной форме характеристик   может возникнуть затруднение при определении числа оборотов вокруг критической точки с координатами  .

Для анализа поведения таких характеристик применяют «правило переходов» Ципкина. Назовем переход АФЧХ через действительную ось слева от точки   при возрастании   положительным (если характеристика пересекает вещественную ось сверху-вниз), а справа от точки   отрицательным. Также отрицательным считается переход слева от точки  , но совершённым при пересечении вещественной оси снизу-вверх. В этом случае, если АФЧХ начинается на отрезке   при   или заканчивается на нем при  , считается, что АФЧХ совершила пол перехода.

Критерий Найквиста для рассматриваемого варианта: если разомкнутая САУ неустойчива, то для того чтобы замкнутая система стала устойчива необходимо и достаточно, чтобы разность между положительным и отрицательным переходами АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси   при изменении   от   до   была равна   - раз.

Критерий Найквиста для случая, когда разомкнутая система устойчива имеет следующую формулировку: если САУ разомкнутая устойчива, то замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы   не охватывает точку с координатами  .

Достоинство критерия Найквиста заключается в том, что его можно использовать даже если неизвестны структуры отдельных звеньев системы, достаточно получить АФЧХ. Кроме того, рассматриваемый критерий позволяет анализировать устойчивость систем обладающих запаздыванием.