Метод гармонической линеаризации
Пусть входной сигнал нелинейного звена изменяется по гармоническому закону
х(t) = А sinωt(10.8).Выходной сигнал
у(t) = Ф(А sinωt) будет периодической функцией времени, которую можно разложить в ряд Фурье. Первая гармоника этого ряда запишется в таком виде
(10.10),где
-коэффициенты
гармонической линеаризации определяются
по формулам:
Выражения
(10.11) показывают, что коэффициенты
гармонической линеаризации зависят от
амплитуды входного сигнала. Как известно,
коэффициенты линеаризации в формуле
(10.10), найденные из разложения в ряд
(10.11), обеспечивают наилучшее квадратичное
приближение гармонического сигнала
y(t) к периодической кривой (10.9)
Выражение
(10.10) можно представить и в другой форме
(10.13),где
Если перейти к комплексному виду записи
уравнений (10.8), (10.10), (10.13), то будем иметь:
,где
комплексный коэффициент гармонической
линеаризации. Этот коэффициент, равный
отношению
называют также гармоническим коэффициентом
передачи (амплитудно-фазовой
характеристикой) нелинейного звена,
но, в отличие от последнего коэффициента
не зависит от частоты входного сигнала.
Модуль
(
)
и фаза (δ) этого коэффициента являются
функцией только амплитуды (А) входного
сигнала.
Исследование устойчивости вторым методом ляпунова
Наиболее общие результаты по исследованию устойчивости систем высокого порядка, как линейных, так и нелинейных, стационарных и нестационарных могут быть получены по методу А.М. Ляпунова [3,4,15]. Первая публикация на русском языке метода относится к 1892 г. и перевод на французском языке в 1907 г. В США метод получил распространение в 1949 г., а в инженерной практике стал применяться после 1960 г.
При
исследовании устойчивости прямым
методом Ляпунова, именуемым также второй
методой Ляпунова, предполагается
использование непрерывной скалярной
функции переменных состояния V(x) совместно
с уравнениями состояния
где
fi - нелинейные функции произвольного
вида, удовлетворяющие условию
так как в установившемся состоянии все отклонения и их производные равны нулю. Чтобы исследовать устойчивость по Ляпунову, необходимо подобрать некоторую знакоопределенную функцию V(x) и вычислить производную по времени от этой функции W(x).
Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области в окрестности начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.
Функция V называется знакопостоянной (полуопределенной), если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.
Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.
Любая функция
V(x) = V(x1, x2, ..., xn ), (10.3)
тождественно обращающаяся в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0, называется функцией Ляпунова, если в ней в качестве x1, x2, ..., xn взяты переменные, в которых записаны уравнения (10.1) для этой системы.