Биномиальный закон распределения

Биноминальное распределение представляет собой распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью P(A) = p = const. Кроме события A может произойти также противоположное событие , вероятность которого P( ) = 1-p = q.

Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:

где - вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит n раз;

- вероятность того, что при n испытаниях событие A не наступит ни разу;

- вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз, а событие наступит n-m раз;

- число сочетаний (комбинаций) появления события A и .

Таким образом, вероятность осуществления события A m раз при n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p можно рассчитать по формуле общего члена разложения бинома Ньютона:

.

Эта формула называется формулой Бернулли. Ее целесообразно использовать при небольшом числе испытаний, порядка n  8.

Сумма вероятностей всех комбинаций равна единице,

как сумма вероятностей единственно возможных и несовместных событий (комбинаций), составляющих полную группу событий.

Ряд распределения вероятностей случайной величины X = m записывают следующим образом:

,

где n - число независимых испытаний;

m=0n - частота появления события A в n независимых испытаниях.

Числовые характеристики биноминального распределения:

M(m)=np - математическое ожидание частоты появлений события A при n независимых испытаниях;

D(m)=npq - дисперсия частоты появления события A;

- среднее квадратическое отклонение частоты.

Когда число испытаний n велико, то для вычисления вероятности комбинаций используется локальная теорема Лапласа:

где - нормированная плотность нормального распределения;

- нормированное значение частоты.

1.8

Нормальное распределение - наиболее часто встречающийся вид распределения. С ним приходится сталкиваться при анализе погрешностей измерений, контроле технологических процессов и режимов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в в экономике, социологии, демографии и других областях знаний.Нормальным называется распределение, функция плотности вероятности которого имеет вид

,

где  - математическое ожидание случайной величины;

² - дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания.

1.9

Правило 3-х _ (трех “сигм”).Пусть имеется нормально распределённая случайная величина с

математическим ожиданием, равным а и дисперсией 2. Определим вероятность попадания в интервал (а – 3_; а + 3_), то есть вероятность того, что принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3_< _ < а + 3_)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практически равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3. (Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.)

1.10

Схема испытаний Бернулли.

n испытаний называются системой испытаний Бернулли, если испытания независимы, в каждом из них происходит событие , либо с вероятностью наступления P(A) = p;

Найдем вероятность того, что в результате проведенных n испытаний событие А произошло m раз:

Рассмотрим композицию n независимых испытаний и построим композиционное пространство элементарных событий.

Общий вид элемента этого пространства следующий:

где

При этом вероятность наступления такого события равна: (умножение при независимых событиях)

Найдем вероятность наступления любого элементарного события из композиционного пространства:

Рассмотрим в композиционном вероятностном пространстве событие: в n испытаниях событие A произошло m раз.

Событие A состоит из - общее кол-во элементарных событий, в которое входит событие А. А произошло m раз, - n-m раз. Вероятность каждого из этих элементарных событий одинакова и равна:

Следовательно, на основании III аксиомы теории вероятности результат равняется: (сложение вероятностей)

Локальная и интегральная теорема Лапласа

Пусть производится n одинаковых независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной p. Тогда вероятность частоты m наступления события А определяется, как было показано ранее по формуле Бернулли:

Вычисление по этой формуле трудно практически осуществить при n>20.Муавром и Лапласом была получена асимптотическая формула, позволяющая найти указанную вероятность. Теорема, выражающая эту формулу, носит название локальной теоремы Муавра-Лапласа .Если производится n одинаковых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна p, то вероятность того, что данное событие появится m раз, определяется по формуле

Эта теорема дает приближение биномиального закона распределения к нормальному при n   и p, значительно отличающемся от нуля и единицы. Для практических расчетов удобнее представлять полученную формулу в виде

,

;

.

Если m=m₀=np, то вероятность наиболее вероятной частоты находится по формуле

При рассмотрении количества m появлений события A в n испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что m заключено между некоторыми значениями a и b. При достаточно больших n промежуток [a,b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения:

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей. Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Формулу, выражающую интегральную терему Лапласа, можно получить из закона нормального распределения (см. далее), положив

X = m; x₁=m₁; x₂=m₂;  = np; При больших значениях n наиболее вероятная частота m₀ совпадает с математическим ожиданием (см. далее) частоты. Поэтому для нахождения вероятности того, что абсолютная величина отклонения частоты от наиболее вероятной частоты не превосходит заданного числа  > 0, применим формулу закона нормального распределения

P(X-<t) = Ф(t),

где X = m;  = M(m) = m₀; ; t = .

Заметим, что, пользуясь теоремами Лапласа, можно находить вероятность того, что частость примет заданное значение.

1.11

Лемма Маркова

Пусть Х - случайная величина, принимающая лишь неотрицательные значения. Тогда можно получить следующее неравенство:

(>0 любое)

Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по обсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем , то есть

Теорема Чебышева. Если Х₁, Х₂, … Х_n попарно независемые случайные величины, причем дисперсии их не привышают постоянноо числа с, то как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число n случайных величин достаточно велико.

Используя понятие предела, можно в условиях теоремы записать:

.

Вместо последней записи часто кратко говорят, что суммы сходятся по вероятности к нулю.

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р. Тогда каково бы ни было >0,

,

где - частость появления события А.

Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний появление события А в К-ом испытании равна р_к, то

,

где m есть случайная величина, равная числу появлений событя А в первых n испытаниях.

Теорема Лапласа.

Теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона устанавливают нижнюю границу вероятности, что часто бывает недостаточно. В некоторых случаях важно знать достаточно точное значение вероятности. Этому требованию отвечают так называемые предельные теоремы закона больших чисел, указывающие асимптотические формулы для

вероятностей неравенства относительно n случайных величин X_i.

Мы уже знаем, что вероятность неравенства вычисляется по интегральной теорема Лапласа, а именно

где .

Следовательно, достаточно точным выражением теоремы Бернулли является интегральная теорема Лапласа. Асимптотическую формулу для теоремы Чебышева доказал его ученик А.М. Ляпунов. Приведем теорему Ляпунова без доказательства.