Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме. Ток смещения.

Уравне́ния Ма́ксвелла — система дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах. Вместе с выражением для силы Лоренца образуют полную систему уравнений классической электродинамики. Уравнения, сформулированные Джеймсом Клерком Максвеллом на основе накопленных к середине XIX века экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее, влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить специальная теория относительности).

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .

Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).

Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

Теорема о циркуляции магнитного поля Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

• — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).

— электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью (в единицах СИ — Кл);

— электрический ток, проходящий через поверхность (в единицах СИ — А).

Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется в классической электродинамике. Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.

Введение тока смещения позволило устранить противоречие[1] в формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики.

Строго говоря, ток смещения не является[2] электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.

№22

Уравнение максвелла в дифференциальной форме. Плотность энергии. Плотность потока энергии электромагнитных волн.

Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций

Закон Гаусса Электрический заряд является источником электрической индукции.

Закон Гаусса для магнитного поля Не существует магнитных зарядов.[~ 1]

Закон индукции Фарадея Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле

Теорема о циркуляции магнитного поля Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.

Введённые обозначения

• — плотность стороннего электрического заряда (в единицах СИ — Кл/м³);

плотность электрического тока (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — А/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей заряда, она выражается просто как ,где — (средняя) скорость движения этих носителей в окрестности данной точки, — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;

• — скорость света в вакууме (299 792 458 м/с);

• — напряжённость электрического поля (в единицах СИ — В/м);

• — напряжённость магнитного поля (в единицах СИ — А/м);

• — электрическая индукция (в единицах СИ — Кл/м²);

• — магнитная индукция (в единицах СИ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);

• — дифференциальный оператор набла

Эне́ргия электромагни́тного по́ля — термин, под которым подразумевается энергия, заключенная в электромагнитном поле. Сюда же относятся частные случаи чистого электрического поля и чистого магнитного поля.

Энергия электромагнитного поля численно равна сумме энергий его электрической и магнитной составляющи

В теории Максвелла доказано, что средние значения электрической и магнитной составляющих энергии электромагнитного поля равны между собой:

Следовательно, энергия электромагнитной волны равна

Поэтому

№23