Вопрос 2

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d можно вычислить по формулам: 

,

где p – полупериметр, R – радиус окружности.

Диагонали вписанного четырёхугольника равны:

.

Билет №15 1. Средняя линия треугольника и трапеции (определение). Теоремао средней линии треугольника и трапеции.

2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.

Вопрос 1

Средняя линия треугольника называется отрезок, соединяющий середины его сторон

Теорема 6.8: Средняя линия треугольника и трапеции параллельна основании и равна её половине.

Доказательство: Пусть DЕ – средняя линия треугольника АВС. Проведём через точку D прямую, параллельную сторонеАВ. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т.е. содержит среднюю линию, значит,DE параллельна АВ.

Проведём теперь среднюю линию DF. Она параллельна АС. Четырёхугольник AEDF – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕD=АF, а т.к. AF=FB,то TD=0.5АВ

Доказательство: Пусть АВСD – данная трапеция. Проведём через вершину В и середину Р боковой стороны СD прямую. Лна пересекает прямую АD в некоторой точке Е. Треугольники РВС и РЕD равны по второму признаку.Из равенства треугольников следует равенство их сторон: РВ=РЕ, ВС=ED.

Значит, средняя линия трапеции PQ является средней линией АВУ, а значит PQ||AE и PQ=0.5(AD+BC).

Вопрос 2

Дан треугольник. Для того, чтобы построить окружность, вписанную внутри него, надо найти её центр. Это будет не что иное, как точка пересечения биссектрис треугольника. Далее проводим окружность так, чтобы её радиус был равен ОА, который является перпендикуляром из центра окружности на сторону треугольника.

Для того, чтобы описать окружность вокруг него, надо найти точку пересеченияего серединных перпендикуляров. Радиусом окружности будет являться отрезок, соединяющий центр окружности с одной из вершин треугольника.

Билет №16 1. Признаки подобия треугольников (доказательства). 2. Построение касательной к окружности (два случая).

Вопрос 1

1)По двум углам: пусть у треугольников АВС и DEF углы А=D, B=E.

Пусть к=АВ:DE. Подвергнем DEF гомотетии с коэффициентом к. При этом получим треугольник, равный АВС. Этот треугольник и DEF равны по второму признаку, а раз они равны, значит они и подобны, и тогда АВС и DEF подобны.

Вопрос 2

Для того, чтобы построить касательную прямую к окружности, надо провести через центр окружности произвольную прямую. Далее в плоскости надо взять такую точку, чтобы прямая, проведённая из неё, пересекала прямую, содержащую диаметр через одну из точек окружности и была перпендикулярна ей.

Билет №17 1. Вывод формулы площади треугольника. Формула Герона. 2. Выражение координат середины отрезка через координаты его концов (рассмотреть все случаи).